Sự phức tạp của việc kiểm tra tư cách thành viên đối với các nhóm abelian hữu hạn

Hãy xem xét vấn đề kiểm tra tư cách thành viên nhóm abelian sau đây .

Đầu vào:

1. Một nhóm abel hữu hạn $G=\mathbb{Z}_{d_1}\times\mathbb{Z}_{d_1}\ldots\times\mathbb{Z}_{d_m}$ với tùy ý lớn $d_i$ .

2. Một phát-set $\lbrace h_1,\ldots,h_n\rbrace$ của một nhóm con $H\subset G$ .

3. Một yếu tố $b\in G$ .

Đầu ra: 'có' nếu $b\in H$ và 'không' ở nơi khác '.

Câu hỏi: Vấn đề này có thể được giải quyết hiệu quả trong một máy tính cổ điển không? Tôi xem xét một thuật toán hiệu quả nếu nó sử dụng tài nguyên thời gian và bộ nhớ $O(\text{polylog}|G|)$ theo nghĩa thông thường của các máy Turing cổ điển. Lưu ý rằng chúng ta có thể giả sử $n= O(\log|G|)$ cho bất kỳ nhóm con $H$ . Các đầu vào kích thước của vấn đề này là $\lceil \log|G|\rceil$ .

Một chút động lực . Theo trực giác, có vẻ như vấn đề có thể được giải quyết bằng các thuật toán để giải các hệ thống tuyến tính hoặc phương trình diophantine tuyến tính (đọc bên dưới). Tuy nhiên, dường như có các khái niệm khác nhau về hiệu quả tính toán được sử dụng trong bối cảnh tính toán với các số nguyên, chẳng hạn như: thời gian đa thức mạnh so với yếu, đại số so với độ phức tạp bit. Tôi không phải là một chuyên gia về các định nghĩa này và tôi không thể tìm thấy một tài liệu tham khảo giải quyết rõ ràng câu hỏi này.

Cập nhật: câu trả lời cho vấn đề là "có".

• Trong một câu trả lời muộn, tôi đã đề xuất một phương pháp dựa trên các biểu mẫu thông thường của Smith có hiệu quả đối với bất kỳ nhóm nào có biểu mẫu quy định.

• Một câu trả lời bằng cách Blondin cho thấy rằng trong trường hợp đặc biệt mà tất cả có dạng d i = N e i i và N i , e i là "số nguyên nhỏ", sau đó các vấn đề thuộc về NC 3 ⊂ P . Số nguyên nhỏ có kích thước nhỏ theo cấp số nhân với kích thước đầu vào: O ( log log | A | ) .$d_i$$d_i= N_i^{e_i}$$N_i, e_i$$\text{NC}^3\subset \text{P}$$O(\log\log|A|)$

Trong câu trả lời của tôi, tôi đã sử dụng "các nhóm con trực giao" để giải quyết vấn đề này, nhưng tôi tin rằng điều này là không cần thiết. Tôi sẽ cố gắng cung cấp một câu trả lời trực tiếp hơn trong tương lai dựa trên một phương thức biểu mẫu Echelon mà tôi đang đọc.

---

Một số cách tiếp cận có thể

Vấn đề liên quan chặt chẽ đến việc giải hệ phương trình tuyến tính và / hoặc phương trình diophantine tuyến tính. Tôi tóm tắt ngắn gọn những kết nối này để hoàn thành.

Hãy là ma trận có các cột là các yếu tố của bộ tạo { h 1 , ... , h n } . Hệ phương trình sau$A$$\lbrace h_1, \ldots, h_n \rbrace$

$$Ax^{T}= \begin{pmatrix} h_1(1) & h_2(1) & \ldots & h_n(1)\\ h_1(2) & h_2(2) & \ldots & h_n(2)\\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ h_1(m) & h_2(m) & \ldots & h_n(m) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x(1)\\ x(2)\\ \vdots\\ x(n) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b(1) \\ b(2) \\ \vdots\\ b(m) \end{pmatrix} \begin{matrix} \mod d_1\\ \mod d_2\\ \vdots\\ \mod d_m \end{matrix}$$

có một giải pháp khi và chỉ khi .$b\in H$

Nếu tất cả các yếu tố tuần hoàn có cùng kích thước thì có một thuật toán dựa trên các dạng thông thường của Smith để giải quyết vấn đề trong thời gian đa thức. Trong trường hợp này, một thuật toán hiệu quả từ [1] tìm thấy dạng A bình thường của Smith : nó trả về một ma trận chéo D và hai ma trận khả nghịch U và V sao cho$d=d_i$$A$$D$$U$$V$ . Điều này đã giảm vấn đề để giải quyết hệ thống hệ thống tương đương D Y = U $D=UAV$ vớiđường chéo D. Chúng ta có thể quyết định hiệu quả nếu hệ thống có giải pháp sử dụng thuật toán Euclide.$DY=Ub \mod d$$D$

Ví dụ trên cho thấy vấn đề có thể được giải quyết hiệu quả bằng cách sử dụng các kỹ thuật tương tự trong trường hợp chung. Chúng ta có thể cố gắng giải quyết hệ thống thực hiện các hoạt động mô đun, hoặc bằng cách biến hệ thống thành một hệ thống lớn hơn của phương trình diophantine tuyến tính. Một số kỹ thuật có thể để tiếp cận vấn đề mà tôi có thể nghĩ đến là:

1. Tính toán các hình thức bình thường Smith .$A$
2. Tính toán các hàng hình thức Echelon của .$A$
3. Loại bỏ Gaussian số nguyên.

Xác minh liệu (nơi h i là vectơ theo ý kiến của OP) là tương đương với xác minh liệu có một giải pháp cho hệ thống này: ( h 1 ( 1 ) ⋯ h n ( 1 ) d e 1 1 0 ⋯ $b \in \langle h_1, \ldots, h_n\rangle$$h_i$

$$\begin{pmatrix} h_{1}(1) & \cdots & h_{n}(1) & d_1^{e_1} & 0 & \cdots & 0 \\\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\\\ h_{1}(m) & \cdots & h_{n}(m) & 0 & 0 & \cdots & d_m^{e_N} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x(1) \\\\ \vdots \\\\ x(n) \\\\ y(1) \\\\ \vdots \\\\ y(m) \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} b(1) \\\\ \vdots \\\\ b(m) \end{pmatrix}$$

Trong trường hợp của bạn là số nhỏ (ví dụ. Giá trị của họ là logartihmic trong kích thước đầu vào). Thật không may, nó không có vẻ như chúng ta có thể giả định rằng d 1 , ... , d n là rất nhỏ.$e_1, \ldots, e_N$$d_1, \ldots, d_n$

Nếu có, thì bạn có thể tìm giải pháp cho hệ thống trong từ kết quả của McKenzie & Cook [1] . Bài viết này cho thấy việc giải các phép cộng tuyến tính một số nguyên với các thừa số nhỏ (LCON) nằm trong NC 3 . Hơn nữa, vấn đề này là NC 1 tương đương với vấn đề thành viên nhóm hoán vị abelian (AGM). Luận án tiến sĩ của McKenzie hoàn toàn dành cho những vấn đề đó [1] . Gần đây, những vấn đề đó đã được Arvind & Vijayaraghavan xem xét [3] .$\text{NC}^3$$\text{NC}^3$$\text{NC}^1$

[1] Pierre McKenzie & Stephen A. Cook. Sự phức tạp song song của các vấn đề nhóm hoán vị Abelian. 1987.

[2] Pierre McKenzie. Độ phức tạp song song và các nhóm hoán vị. 1984.

[3] V. Arvind & TC Vijayaraghavan. Phân loại các vấn đề về các phép cộng tuyến tính và các nhóm hoán vị Abelian bằng cách sử dụng các lớp đếm Logspace. 2010.

Sau một thời gian, tôi đã tìm được một thuật toán có thể không tối ưu nhưng đơn giản chứng minh rằng sự phức tạp của vấn đề là đa thức.

Thuật toán

(a) Tính toán một phát-tập hợp các nhóm trực giao của H .$H^{\perp}$$H$

(b) Kiểm tra xem phần tử có trực giao với H hay không .$b$$H^{\perp}$

Có các thuật toán clasical hiệu quả cho các vấn đề (a) và (b) (xem phân tích dưới đây). Điều này cho phép một thành viên kiểm tra hiệu quả từ một yếu tố là trực giao với H ⊥ khi và chỉ khi h ∈ H .$b$$H^\perp$$h\in H$

---

Phân tích

Các trực giao phân nhóm được định nghĩa thông qua các nhóm đặc trưng của G như: H ⊥ : = { g ∈ G : χ g ( h ) = $H^{\perp}$$G$ thuộc tính chính:

$$H^{\perp}:= \{g\in G : \chi_g(h)=1\quad \forall h\in H \}$$

1. là một nhóm con của G .$H^{\perp}$$G$
2. $H^{\perp^\perp}=H$

Thuật toán cho (a) :

Tôi theo một thuật toán từ [ 1 ] với các biến thể nhỏ. thuộc về H ⊥ nếu và chỉ nếu χ g ( h ) = 1 cho tất cả các h ∈ H , nhưng, bởi tuyến tính nó là đủ để hiển thị χ b ( h i ) = 1 cho mỗi máy phát điện của H . Mở rộng ký tự theo số mũ (ở đây tôi hoàn toàn sử dụng phân rã nhân tố tuần hoàn) điều kiện này tương đương với exp { 2 π i ( g $g$$H^{\perp}$$\chi_{g}(h)=1$$h\in H$$\chi_{b}(h_i)=1$$H$ Để giải quyết những phương trình, tính toánM:=lcm(N1,...,Nd)bằng cách sử dụng thuật toán Euclide và những con sốalphai:=M/di. Chúng ta có thể viết lại các điều kiện trên cho mọiidưới dạng một hệ phương trình mô đun tuyến tính.

$$\begin{eqnarray} \exp \left\lbrace 2\pi i \left( \frac{g(1)h_{i}(1)}{d_1}+\ldots + \frac{g(m) h_{i}(m)}{d_m} \right) \right\rbrace=1 \end{eqnarray}$$ $M:= \text{lcm}(N_1,\ldots,N_d)$$\alpha_i:=M/d_i$$i$

$$\begin{pmatrix} \alpha_1 h_1(1) & \alpha_2 h_1(2) & \ldots & \alpha_m h_1(m)\\ \alpha_1 h_2(1) & \alpha_2 h_2(2) & \ldots & \alpha_m h_2(m)\\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ \alpha_1 h_n(1) & \alpha_2 h_n(2) & \ldots & \alpha_m h_n(m) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} g(1)\\ g(2)\\ \vdots\\ g(n) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix} \begin{matrix} \mod M\\ \mod M\\ \vdots\\ \mod M \end{matrix}$$ As it is proven in 1, if we sample $t+\lceil\log|G|\rceil$ random solutions of this system of equations we will obtain a generating set of $H^{\perp}$ with probability exponentially close to one $p\geq 1 -1/2^{t}$. Now to sample from this equations write them in matrix form $AX=0 \pmod M$. Here $A$ is a rectangular matrix over the integers modulo $M$ for which an algorithm given in 2 allows to efficiently compute its Smith normal decomposition. The algorithm returns a diagonal matrix $D$ and two invertible matrices $U$, $V$ such that $D=UAV$. Using this formula the system of equations can be written as $DY=0 \pmod M$ with $X=VY$. Now it is possible to randomly compute solutions of $DY=0\pmod M$ using Euclid's algorithm, since this is a system of equations of the form $d_i y_i =0 \pmod M$. Finally, computing $X=VY$ one obtains a random element of the orthogonal group $H^{\perp}$ as desired.

Algorithm for (b):

Since we already know how to compute a generating-set of $H^{\perp}$, it is easy to check if a given element $b$ belongs to $H$. First compute a generating-set $\langle g_1,\ldots, g_s \rangle$ of $H^{\perp}$. Then, by definition, $b$ belongs to $H$ if and only if $\chi_{b}(g_i)=1$ for all generators of $H^{\perp}$. Since there are a O(polylog($|G|$)) number of them and this can be done efficiently using modular arithmetic we are done.