Định lý phân cấp cho tỷ lệ gần đúng?

Như đã biết, các bài toán tối ưu hóa NP-hard có thể có nhiều tỷ lệ xấp xỉ khác nhau, từ tất cả các cách từ có PTAS đến không thể xấp xỉ trong bất kỳ yếu tố nào. Ở giữa, chúng ta có các hằng số khác nhau, , p o l y ( n ) , v.v.$O(\log n)$$poly(n)$

Những gì được biết về tập hợp các tỷ lệ có thể? Chúng ta có thể chứng minh bất kỳ loại "thứ bậc gần đúng" nào không? Chính thức, cho những gì chức năng và g ( n ) chúng ta có thể chứng minh rằng có tồn tại một vấn đề với tỷ lệ xấp xỉ f ( n ) ≤ alpha < g ( n ) ?$f(n)$$g(n)$$f(n)\leq \alpha < g(n)$

Trong trường hợp đó , không có tồn tại một vấn đề với tỷ lệ xấp xỉ chính xác α ?$\alpha=O(1)$$\alpha$

Có một hệ thống phân cấp xấp xỉ, các ví dụ chính biết: FPTAS EPTAS ⊆ PTA ⊆ APX . Nhưng đối với khả năng không gần đúng cũng có NPO-PB .$\subseteq$ $\subseteq$ $\subseteq$

Có rất nhiều kết quả về tập hợp các tỷ lệ có thể, đi từ các kết quả như thế này:

EPTAS ∖ FPTAS, trừ khi P = N P ,$P||C_{max} \in$$\backslash$$P=NP$

để xác định các vấn đề khó APX / NPO-PB.

Một số tài liệu tham khảo:

• TRÊN PTAS: M. Cesati và L. Trevisan. Về hiệu quả của các sơ đồ xấp xỉ thời gian đa thức, 1997.
• Trên NPOPB: V. Kann. Giới hạn dưới mạnh mẽ về tính gần đúng của một số vấn đề tối đa hóa hoàn thành PBO PB

Nhưng tôi đề nghị tốt nhất là kiểm tra Sở thú phức tạp vì nó có nhiều thông tin và tài liệu tham khảo hơn về các ví dụ đó, thậm chí Wikipedia

Hơn nữa, như đã nêu trong các ý kiến, ràng buộc chặt chẽ khi , được hiển thị cho nhiều vấn đề như đóng gói bin, lập lịch máy (xem iris.gmu.edu/~khoffman/ con / set_covering.html).$\alpha=O(1)$

Tôi vẫn nghĩ bình luận của Suresh bên dưới câu hỏi là đủ để cho thấy rằng bất kỳ tỷ lệ nào đều có thể. Nếu bạn không bị thuyết phục với điều đó, bạn có thể xem xét các vấn đề về sự hài lòng của ràng buộc Boolean (CSP).

Bối cảnh: Đặt là một vị ngữ của arity k . Một phiên bản của Max-CSP (P) đã kết thúc là một số chữ và mục tiêu là tìm một phép gán các biến tối đa hóa các phần của các ràng buộc thỏa mãn. Ví dụ: trong 3 S A T ta có P ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x $P: \{0,1\}^k \to \{0,1\}$$k$ Biến Boolean x 1 , Lỗi , x n . Một nghĩa đen là bất kỳ biến hoặc phủ định của nó. Các ví dụ bao gồm m trở ngại, mỗi người trong số các hình thức P ( λ 1 , ... , λ k ) nơi λ $n \gg k$$x_1, \ldots, x_n$$m$$P(\lambda_1, \ldots, \lambda_k)$$\lambda_i$$3SAT$ . Xác định ρ ( P ) là phần của 2 k đầu vào có thể là thỏa mãn P (đối với 3 S Một T nó tương đương với 7 /$P(x_1, x_2, x_3) = x_1 \lor x_2 \lor x_3$$\rho(P)$$2^k$$P$$3SAT$$7/8$). Việc ước tính bất kỳ Max-CSP (P) nào theo một yếu tố bằng cách gán các giá trị ngẫu nhiên cho các biến (và sau đó giảm thiểu bằng cách sử dụng phương pháp kỳ vọng có điều kiện). Lưu ý rằng ở đây chúng tôi có ước rằng tỷ lệ xấp xỉ là tập số thực dương không quá 1. Một vị P là xấp xỉ kháng (AR) nếu nó là NP-khó để giải quyết Max-CSP (P) tốt hơn so với một yếu tố ρ ( P ) (ví dụ, ρ ( P ) + ε đối với bất kỳ cố định ε > 0 ).$\rho(P)$$P$$\rho(P)$$\rho(P)+\epsilon$$\epsilon > 0$

Lưu ý rằng bất kỳ vị từ AR nào cũng thể hiện ngưỡng xấp xỉ chặt chẽ . Được biết, có những vị từ P với tùy tiện nhỏ ρ ( P ) có xấp xỉ kháng, và vẫn như vậy ngay cả khi bạn thêm vào các yếu tố đầu chấp nhận của P . Ví dụ, bài báo sau đây cho thấy một kết quả như vậy:$\rho(P)$$P$$\rho(P)$$P$

Per Austrin và Johan Håstad, Độc lập và Kháng chiến được hỗ trợ ngẫu nhiên, Tạp chí SIAM về Điện toán, tập. 40, không 1, trang 1-27, 2011.

Vì vậy, điều này quan tâm đến tất cả các ngưỡng hợp lý mà mẫu số của nó là lũy thừa của hai. Đối với các ngưỡng khác, quan sát rằng nếu cũng đủ để chứng minh rằng đối với mỗi , có một α ' ≤ α mà có một AR vị với ρ ( P ) = α ' (vì nó luôn luôn có thể thêm biến giả và những hạn chế của chúng là thỏa đáng tầm thường để tăng ngưỡng gần đúng).$\alpha$$\alpha' \leq \alpha$$\rho(P) = \alpha'$