Tìm các đường dẫn tách rời đỉnh tối đa với một nguồn chung trên biểu đồ phẳng

Cho một đồ thị không trọng số phẳng, và một bộ sưu tập các cặp đỉnh ( k ≥ 2 là một hằng số), tìm k đỉnh-rời nhau (trừ nguồn) đường dẫn từ s đến t i sao cho chiều dài của con đường dài nhất được giảm thiểu.$(s,t_1),\dots,(s,t_k)$$k\ge2$$k$$s$$t_i$

Câu hỏi: Có một thuật toán đa thức thời gian cho vấn đề không?

Một số kết quả liên quan:

• nếu chưa được khắc phục vấn đề là NP-khó ngay cả khi t 1 = ⋯ = t k ;$k$$t_1=\dots=t_k$
• nếu đồ thị đầu vào là trọng và các nguồn đường dẫn không trùng, tức là đường dẫn là vấn đề là NP-khó ngay cả đối với k = 2 ;$(s_1,t_1),\dots,(s_k,t_k)$$k=2$

• một vấn đề với mục tiêu khác nhau, cụ thể là giảm thiểu tổng độ dài đường dẫn, là

  • khả năng giải quyết với thuật toán dòng chi phí tối thiểu cho các nguồn trùng khớp;
  • NP-hard cho các nguồn không trùng và chung ;$k$
  • mở cho các nguồn không trùng và không đổi .$k$

Đây không phải là chính xác những gì bạn yêu cầu, nhưng vấn đề là NP-đầy đủ nếu k không phải là một hằng số mà là một phần của đầu vào.

Điều này xuất phát từ bằng chứng Định lý 1 trong van der Holst và de Pina [HP02], cho biết: đưa ra một đồ thị phẳng G , các đỉnh khác biệt s và t trong G , và các số nguyên dương k và b , đó là NP hoàn chỉnh để quyết định cho dù có k đường dẫn tách rời nhau trong nội bộ giữa s và t mỗi chiều dài tối đa b .

Lưu ý rằng vấn đề trong tuyên bố của Định lý 1 khác với vấn đề của bạn ở hai khía cạnh. Một sự khác biệt là, như tôi đã đề cập, k được đưa ra như một phần của đầu vào. Một vấn đề khác là vấn đề trong [HP02] là về các đường dẫn có điểm cuối chung thay vì đường dẫn có nguồn chung và các mức chìm khác nhau. Tôi không biết cách khắc phục sự khác biệt đầu tiên; sự khác biệt quá lớn đến mức có khả năng chúng ta sẽ cần một bằng chứng hoàn toàn khác để khắc phục k . Nhưng tôi biết ít nhất làm thế nào để khắc phục sự khác biệt thứ hai.

Bằng chứng của Định lý 1 trong [HP02] giúp giảm từ 3SAT. Sự giảm này có thuộc tính sau: trong trường hợp ( G , s , t , k , b ) được xây dựng bằng cách giảm, mức độ của đỉnh t luôn bằng k . Đặt t ₁ , tầm, t _k là hàng xóm k của t . Sau đó, thay vì hỏi liệu có k đường dẫn tách rời nhau theo chiều dọc bên trong giữa s và t mỗi chiều dài tối đa b, chúng ta cũng có thể hỏi xem liệu có các đường dẫn đỉnh-tách rời nhau theo chiều ngang P ₁ , không, P _k sao cho mỗi P _i là một đường dẫn giữa s và t _i có độ dài nhiều nhất là b −1.

[HP02] H. van der Holst và JC de Pina. Đường dẫn tách rời giới hạn chiều dài trong đồ thị phẳng. Toán học ứng dụng rời rạc , 120 (1 Từ3): 251 Từ261, ngày 8 tháng 8 năm 2002. http://dx.doi.org/10.1016/S0166-218X%2801%2900294-3