Cách tốt nhất để xác định kích thước tối thiểu của cấu trúc chỉ có khoảng cách giữa các điểm

Tôi đã gặp vấn đề này trong một lĩnh vực vật lý cách khá xa khoa học máy tính, nhưng có vẻ như đây là loại câu hỏi đã được nghiên cứu trong CS, vì vậy tôi nghĩ tôi sẽ thử vận ​​may của mình khi hỏi nó ở đây.

Hãy tưởng tượng bạn được cung cấp một tập hợp các điểm và liệt kê một số khoảng cách giữa các điểm d i j . Cách hiệu quả nhất để xác định kích thước tối thiểu của không gian mà bạn cần nhúng các điểm này là gì? Nói cách khác, k nhỏ nhất sao cho tồn tại một tập hợp các điểm trong R k thỏa mãn các ràng buộc khoảng cách d i j . Tôi sẽ hạnh phúc như nhau với một câu trả lời cho C k , nhưng điều này có vẻ khó hơn.$\{v_i\}_{i=1}^n$$d_{ij}$$k$$\mathbb{R}^k$$d_{ij}$$\mathbb{C}^k$

Tôi hạnh phúc khi nói rằng khoảng cách cần phải phù hợp chỉ để trong vòng một số chính xác liên tục ε và có những điểm hạn chế đến các điểm trên một số mạng của khoảng cách liên tục, để vấn đề tránh tính toán với số thực.$d_{ij}$$\epsilon$

Thật vậy, tôi sẽ rất hài lòng với một giải pháp cho phiên bản quyết định của vấn đề này, trong đó đưa ra và k bạn được hỏi liệu có tồn tại một tập hợp các đỉnh { v i } như vậy hay không . Vấn đề thực sự nằm ở NP, vì đã đưa ra một tập hợp các điểm trong R k , thật dễ dàng để kiểm tra xem chúng có thỏa mãn các yêu cầu về khoảng cách hay không, nhưng có vẻ như cần có thuật toán thời gian theo cấp số mũ cho vấn đề cụ thể này.$d_{ij}$$k$$\{v_i\}$$\mathbb{R}^k$

Cách tiếp cận rõ ràng nhất có vẻ là để cố gắng xây dựng cấu trúc ba chiều lặp đi lặp lại, bằng cách thêm thêm điểm cùng một lúc và xác định có hay không một chiều không gian mới cần phải được thêm vào mỗi lần lặp. Vấn đề với điều này là dường như bạn có thể gặp phải sự mơ hồ khi có nhiều hơn một cách để thêm một điểm vào cấu trúc hiện có và không rõ cái nào sẽ dẫn đến ít kích thước hơn khi bạn tiếp tục thêm nhiều điểm hơn.$k$

Cuối cùng, hãy để tôi nói rằng tôi biết rằng thật dễ dàng để tạo danh sách các khoảng cách không thể thỏa mãn trong bất kỳ số lượng kích thước nào (tức là các kích thước vi phạm bất đẳng thức tam giác). Tuy nhiên, đối với các trường hợp tôi quan tâm sẽ luôn có một số kích thước hữu hạn tối thiểu trong đó có thể tìm thấy một tập hợp các điểm thỏa mãn.

Vấn đề này đôi khi được gọi là hoàn thành ma trận khoảng cách Euclide chiều thấp hoặc nhúng Euclide chiều thấp của đồ thị có trọng số.

Saxe [Sax79] và Yemini [Yem79] thể hiện độc lập bằng cách giảm đơn giản từ vấn đề Phân vùng rằng vấn đề này là NP hoàn chỉnh ngay cả trong trường hợp một chiều; đó là, vấn đề sau là NP-đầy đủ cho k = 1:

k -dimensional ma trận khoảng cách Euclide hoàn thành / k nhúng Euclide cố định của một đồ thị có trọng số
Trường hợp : Một ma trận đối xứng M có các số nguyên là số nguyên dương trong nhị phân hoặc ẩn số.
Câu hỏi : Các mục chưa biết trong M có thể được điền bởi các số thực không rằng M sẽ trở thành một ma trận khoảng cách điểm trong k chiều Euclide không gian ℝ ^k ?
Tương đương,
sơ thẩm : Một đồ thị G trong đó mỗi cạnh có trọng số nguyên dương được viết dưới dạng nhị phân.
Câu hỏi : Các đỉnh của G có thể được đặt trongk -chiều không gian Euclide ℝ ^k sao cho với mỗi cạnh của G , khoảng cách giữa hai điểm cuối bằng với trọng số của cạnh?

Hơn nữa, Saxe [Sax79] đã chỉ ra (bằng cách giảm nhiều hơn từ 3SAT) rằng việc hoàn thành ma trận khoảng cách Euclide k -dimensional vẫn là NP-hard ngay cả khi hạn chế rằng tất cả các mục đã biết trong M đều là 1 hoặc 2, cho mọi hằng số nguyên dương k . Cụ thể, vấn đề là NP-đầy đủ ngay cả khi các mục đã biết trong M được đưa ra một cách đơn nhất. [Sax79] cũng chứa một số kết quả độ cứng về việc nhúng gần đúng.

Nhân tiện, tôi không nghĩ rằng vấn đề là ở NP; lưu ý rằng bạn cần tọa độ không hợp lý trong một số trường hợp khi k > 1. Tôi không biết nếu nó được biết là trong NP.

Người giới thiệu

[Sax79] James B. Saxe. Khả năng nhúng của đồ thị có trọng số trong k -space là NP-hard. Trong Kỷ yếu của Hội nghị Allerton lần thứ 17 về Truyền thông, Kiểm soát và Điện toán , trang 480 .89189, 1979. Cũng trong James B. Saxe: Hai bài báo về vấn đề nhúng đồ thị , Khoa Khoa học máy tính, Đại học Carnegie-Mellon, 1980.

[Yem79] Yechiam Yemini. Một số khía cạnh lý thuyết của các vấn đề vị trí-vị trí. Trong Hội nghị chuyên đề thường niên lần thứ 20 về nền tảng của khoa học máy tính (FOCS) , trang 1 Lời8 , tháng 10 năm 1979. DOI: 10.1109 / SFCS.1979.39

$d$$n$$d$$n$