Có một loại kết quả khuếch đại khoảng cách cho vấn đề đẳng cấu đồ thị?

Giả sử và là hai đồ thị vô hướng trên đỉnh thiết lập . Các đồ thị là đẳng cấu khi và chỉ khi có một hoán vị mà , hay chính thức hơn, nếu có một hoán vị mà là một cạnh trong khi và chỉ nếu $G_1$ $G_2$ $\{1, \dotsc, n\}$ $\Pi$ $G_1 = \Pi(G_2)$ $\Pi$ $(i,j)$ $G_1$ là một cạnh trong . Vấn đề đẳng cấu đồ thị là vấn đề quyết định xem hai đồ thị đã cho có phải là đẳng cấu hay không. $(\Pi(i),\Pi(j))$ $G_2$

Có hoạt động nào trên các biểu đồ tạo ra "khuếch đại khe hở" theo kiểu chứng minh định lý của Dinur không? Nói cách khác, là có một thời gian đa thức chuyển đổi tính toán từ để như vậy $(G_1,G_2)$ $(G'_1,G'_2)$

nếu và là đẳng cấu, sau đó và cũng là đẳng cấu, và $G_1$ $G_2$ $G'_1$ $G'_2$
nếu và G 2 là không đẳng cấu, sau đó cho mỗi hoán vị Π , đồ thị G ' 1 là " ε -far" từ Π ( G ' 2 ) đối với một số liên tục nhỏ ε , nơi ε -far có nghĩa là nếu chúng ta chọn ( i , j ) thống nhất một cách ngẫu nhiên, sau đó với xác suất ε hoặc
- là một cạnh của và không phải là một cạnh của , hoặc $(i,j)$ $G'_1$ $(\Pi(i),\Pi(j))$ $G'_2$
- không phải là một cạnh của và là một cạnh của . $(i,j)$ $G'_1$ $(\Pi(i),\Pi(j))$ $G'_2$

cc.complexity-theory graph-isomorphism pcp

— Andre Chailloux
nguồn

@domotorp: Biến đổi thời gian đa thức của Hồi giáo là một thuật ngữ tiêu chuẩn để chỉ một máy Turing thời gian đa thức xác định có đầu vào và đầu ra là cả hai chuỗi. Trong trường hợp này, máy Turing này lấy cặp (G1, G2) làm đầu vào và tạo cặp (G′1, G′2) làm đầu ra. Mỗi đồ thị được mã hóa như một ma trận liền kề, ví dụ.

— Tsuyoshi Ito

Tôi nghĩ rằng định lý PCP là hợp lệ cho bất kỳ vấn đề NP nào, vậy cụ thể nó có nên áp dụng cho biểu đồ đẳng cấu không?

— Denis

@dkuper Tác giả có nghĩa là hỏi xem có sự giảm khuếch đại khoảng cách nào làm giảm các trường hợp đẳng cấu đồ thị thành các trường hợp của đẳng cấu đồ thị có khoảng cách lớn hơn không; ông không hỏi trực tiếp về Định lý PCP, chỉ về một kỹ thuật được sử dụng để chứng minh độ cứng gần đúng ...

— argentpepper

Có lẽ là một cú sút xa, nhưng bạn có thể chỉ ra rằng nếu đây là trường hợp, thì bạn có thể giải quyết đẳng cấu đồ thị trong thời gian đa thức lượng tử không?

— Neal Young

Điều phù hợp với tình trạng kiến thức hiện tại là ngay cả SAT cũng có thuật toán thời gian tuyến tính, vì vậy những gì bạn đã viết dường như không thể biết được. Nếu đó là xin vui lòng thêm một tài liệu tham khảo cho câu trả lời của bạn.

— Kaveh

Tôi không biết liệu một thứ như vậy có thể tồn tại hay không. Nhưng thật thú vị (và có lẽ là kịp thời) để lưu ý rằng một "khuếch đại khoảng cách" như vậy có thể ngụ ý một thuật toán thời gian quasipolynomial cho đẳng cấu đồ thị (khác với công bố gần đây)

Trong bài báo này , một thuật toán gần đúng được đưa ra cho bài toán "MAX-PGI" về tối đa hóa các cặp cạnh / cạnh không khớp; nếu chúng ta giảm từ GI xuống "Gap-MAX-PGI", thì chúng ta có thể tính gần đúng để phân biệt phía nào của khoảng trống chúng ta đang ở.

Vì vậy, tôi nghĩ rằng bằng chứng của Dinur về định lý PCP dường như không thể khái quát trực tiếp cho một "bộ khuếch đại khe hở" như vậy, với những rào cản cần phải vượt qua.

— Joe Bebel
nguồn