Xếp hạng độ khó của NP Các vấn đề khó trong thực tế

Câu hỏi này liên quan chặt chẽ đến một bài khác: Chuyển pha trong các vấn đề khó khăn của NP nhưng nó hơi khác một chút. Trong khi câu hỏi đó là về độ cứng của các trường hợp cụ thể của các vấn đề NP, thì đây là về việc xếp hạng độ khó của các trường hợp tương tự.

Có rất nhiều thư mục về hiệu ứng được gọi là Giai đoạn chuyển tiếp . Đặc biệt đối với trường hợp các công thức 3-SAT ngẫu nhiên ở dạng bình thường kết hợp (CNF), người ta biết rằng có một giá trị R của tỷ lệ các mệnh đề với các biến sao cho tất cả r <R công thức có thể được thỏa mãn với xác suất cao và với r> R, công thức không thỏa mãn với xác suất cao. Hiệu ứng chuyển pha xảy ra gần R và nó có tác dụng đáng chú ý là việc giải quyết vấn đề thỏa mãn cho các công thức đó là cực kỳ khó trong thực tế.

Vì để chứng minh độ cứng NP của một vấn đề nhất định, cần phải chỉ ra rằng có một thời gian đa thức Turing-giảm đối với vấn đề NP-đầy đủ và rằng các vấn đề NP-đầy đủ có thể được chuyển đổi trong thời gian đa thức, sau đó câu hỏi sau đây tự nhiên phát sinh:

Có thể xếp hạng độ khó của các bài toán khó NP trong thực tế bằng cách sử dụng Chuyển pha pha của 3-SAT CNF làm chỉ số không? Trực giác là một vấn đề P1 có thể được dự kiến ​​sẽ khó hơn P2 nếu mã hóa 3-SAT của nó gần R hơn (được biết là gần 4.2). Lưu ý rằng ý tưởng này không nhất thiết ràng buộc từng trường hợp cụ thể với một khó khăn cụ thể, nó chỉ xếp hạng chúng.

Có một số đối số truy cập, trong số đó:

1. Chuyển pha của công thức CNF 3-SAT áp dụng cho các công thức ngẫu nhiên. Tuy nhiên, một trường hợp cụ thể trong một vấn đề khác có một số cấu trúc có thể được người giải quyết khai thác cho vấn đề đó --- điều này đã được Peter Shor chỉ ra trong câu hỏi đã nói ở trên.
2. Đây có thể là trường hợp mã hóa cụ thể được sử dụng để chuyển đổi các trường hợp cụ thể trong vấn đề của chúng tôi thành 3-SAT đóng vai trò quan trọng trong tỷ lệ mệnh đề với các biến dẫn đến các giá trị sai lệch, do đó phân loại sai --- vấn đề này được Kaveh nêu ra các ý kiến ​​cho câu hỏi này.
3. Serge (theo sự hiểu biết của tôi từ nhận xét của anh ấy cho câu hỏi này) đặt ra vấn đề rằng người ta có thể làm phức tạp một cách giả tạo vấn đề khó khăn NP ban đầu để nó dẫn đến một công thức 3CNF làm thay đổi tỷ lệ của mệnh đề thành các biến trong khi vẫn giữ được sự thỏa mãn.

Đối với 1, tất cả các vấn đề có thể chia sẻ cùng một loại chính quy để các vấn đề xếp hạng (thay vì mô tả độ khó) có thể được áp dụng; đối với 2, có các mã hóa trong các vấn đề cụ thể được biết là không thừa dự phòng quy tắc Tuyên truyền đơn vị để chúng được ưu tiên và có thể tránh các phân loại sai đó. Một ví dụ là Sideris và cộng sự, 2010 cho trường hợp Lập kế hoạch đề xuất. Đối với 3, Cheeseman và cộng sự, 1991 đã xem xét vấn đề liệu ánh xạ giữa các vấn đề có bảo tồn hay không hiệu ứng chuyển pha và các thí nghiệm sơ bộ của họ dường như ủng hộ phỏng đoán của họ, với điều kiện là người ta giảm vấn đề NP ban đầu và thậm chí " có thể giảm hơn nữa bằng cách áp dụng độ phân giải cho các mệnh đề ".

Làm tất cả điều này có ý nghĩa với bạn? Bạn có biết về bất kỳ tài liệu tham khảo thư mục nào về điều này? Bất kỳ hướng dẫn sẽ được thừa nhận phần lớn!

Mặc dù không thể tưởng tượng được rằng những trở ngại kỹ thuật mà bạn đề cập có thể khắc phục bằng cách nào đó, tôi nghĩ rằng hiện tại có rất ít động lực để làm điều đó, vì lý do đơn giản là (ít nhất là theo như tôi biết) khó khăn của NP-hard các vấn đề trong thực tế dường như, ít có liên quan đến sự gần gũi của chúng với quá trình chuyển đổi giai đoạn 3-SAT.

Đối chiếu điều này với một số cách khác để xếp hạng các vấn đề NP-hard về độ khó: Có một số mối tương quan theo kinh nghiệm giữa các vấn đề NP-hard dễ thực hiện và các vấn đề NP-hard dễ gần đúng , hoặc đó là chỉnh tham số cố định (theo nghĩa phức tạp tham số hóa). Các quan niệm phù hợp về giảm đã được phát triển trong những trường hợp này giải thích một phần các quan sát thực nghiệm. Tuy nhiên, hiện tại dường như không có dấu hiệu thực nghiệm nào cho thấy hầu hết các vấn đề NP-hard khó thực hành là khó khăn vì mối quan hệ chặt chẽ của chúng với các trường hợp 3-SAT gần giai đoạn chuyển tiếp. Vì vậy, sẽ không quá có ý nghĩa khi phát triển một lý thuyết để "giải thích" điều gì đó dường như không đúng trong thực tế.