Tính toán chức năng Mobius

13

Hàm Mobius được định nghĩa là , nếu có thừa số nguyên tố bình phương và nếu tất cả các số nguyên tố đều khác nhau. Có thể tính toán mà không tính toán thừa số nguyên tố của không? $\mu(n)$ $\mu(1)=1$ $\mu(n)=0$ $n$ $\mu(p_1 \dots p_k)= (-1)^k$ $p_1,\dots,p_k$ $\mu(n)$ $n$

comp-number-theory

— Craig Feinstein
nguồn

6

Tôi nghĩ rằng anh ta chỉ đơn thuần là hỏi liệu có cách nào để tính toán mà không biết cũng cung cấp một yếu tố không.

μ (n)

$\mu(n)$

— Suresh Venkat

2

@Kaveh, tôi không nói về độ phức tạp tính toán ở đây. Suresh là chính xác trong giải thích của mình. Nó tương tự như việc xác định rằng một số là hợp số mà không xác định hệ số của nó. Một cái gì đó như thế này cũng có thể được thực hiện cho chức năng Mobius?

— Craig Feinstein

1

Tôi không nghĩ rằng đây là một câu hỏi thực sự. Tôi nghĩ rằng nó có thể hữu ích để nhắc nhở bạn rằng trên cstheory, chúng tôi có một chính sách nghiêm ngặt chống lại các chủ đề thân thiện với tay quay trong trường hợp bạn cố gắng quảng cáo các ý tưởng trong đó .

— Kaveh

3

@Kaveh, tôi đã hỏi một câu hỏi nghiêm túc trong đó có 4 ngón tay cái. Chắc chắn, câu trả lời của tôi có 8 ngón tay cái, nhưng đó là cuộc sống. Tôi không biết câu trả lời của mình cho câu hỏi cho đến hôm nay, vì vậy tôi đã đăng câu trả lời. Nghe có vẻ như bạn đang cố gắng tẩy chay tôi bằng cách tuyên bố tôi có một số loại động cơ thầm kín ở đây. Tôi có thể đảm bảo với bạn rằng tôi không có động cơ thầm kín nào ngoài việc có được câu trả lời cho câu hỏi.

— Craig Feinstein

5

@Kaveh: OP là một trisector nổi tiếng, trên nhiều diễn đàn. Điều đó nói rằng, bạn đã bao giờ thấy anh ấy thô lỗ với ai đó chưa? Tôi chưa. Anh ta chỉ hiểu sai ý nghĩa của việc chứng minh giới hạn dưới. Câu hỏi dường như về chủ đề với tôi. Có một câu nói: "Ngay cả một chiếc đồng hồ dừng lại cũng đúng hai lần một ngày."

— Aaron Sterling

34

Một câu trả lời không trả lời cho câu hỏi của bạn là SQUARE-FREE (không có số vuông) tự nó không được biết đến trong P và tính toán hàm Möbius sẽ giải quyết vấn đề này (vì một số tự do vuông có ). $\mu(n) \neq 0$

— Suresh Venkat
nguồn

7

Bạn có biết bất kỳ bài báo nào thảo luận về sự phức tạp của hình vuông không? tất cả những gì tôi có thể tìm thấy là đây: dl.acm.org/citation.cfm?id=371327&dl=GUIDE&coll=GUIDE , cung cấp giới hạn kích thước công thức thấp hơn. Nhìn vào mathoverflow.net/questions/16098/ , tôi nghĩ rằng không có nhiều thông tin về việc liệu nó có khả năng giảm bao thanh toán thành hình vuông không.

— Sasho Nikolov

15

Đối với câu trả lời khác, bạn có thể quan tâm đến phỏng đoán của Sarnak (xem ví dụ: http://gilkalai.wordpress.com/2011/02/21/the-ac0-prime-number-conjecture/ , http: //rjlipton.wordpress .com / 2011/02/23 / the-deep-of-mobius-function / , /mathpro/57543/walsh-fourier-transform-of-the-mobius-f ghép ), trong đó về cơ bản nói rằng hàm Möbius không tương quan với bất kỳ hàm Boolean đơn giản nào. Không phải là không có lý khi hy vọng nó sẽ được giữ vững khi mà đơn giản, được hiểu là thời gian đa thức. Những gì chúng ta biết cho đến nay là phỏng đoán giữ cho các chức năng (được chứng minh bởi Ben Green ) và tất cả các chức năng đơn điệu (được chứng minh bởi Jean Bourgain ). $\mathrm{AC}^0$

— Emil Jeřábek hỗ trợ Monica
nguồn

4

Tôi nghĩ đây là tờ Ben Green: arxiv.org/abs/1103.4991

— Suresh Venkat

0

Một trong những công thức đệ quy liên quan giá trị của chức năng mobious là

\sum_{m \leq n} ⌊ \frac{n}{m} ⌋ μ (m) = 1.

$\sum_{m \leq n} \left\lfloor \dfrac {n}{m} \right\rfloor \mu (m) = 1.$ Nhưng inorder để tìm ra

μ (n)

$\mu(n)$ chúng ta cần phải biết các giá trị mobious cho

m < n

$m < n$ . Do đó

μ (n) = 1 - \sum_{m < n} ⌊ \frac{n}{m} ⌋ μ (m) .

$\mu (n) =1-\sum_{m < n} \left \lfloor \dfrac {n}{m}\right \rfloor \mu (m) .$ Ở đây chúng ta chia

n

$n$ cho các số nguyên dương nhỏ hơn

m < n

$m<n$ , chúng ta không cần phải biết chúng có phải là nhân tố của

n

$n$ khi

m

$m$ có hệ số vuông! (

μ (m) = 0

$\mu(m)=0$ ), Nhưng vẫn còn chúng ta phải biết các yếu tố của

m

$m$ để kết luận này !! Do đó ta có:

\begin{aligned} μ (n) = & 1 - \sum_{a_{1} < n} ⌊ \frac{n}{a_{1}} ⌋ \\ + & \sum_{a_{1} < n} ⌊ \frac{n}{a_{1}} ⌋ \sum_{a_{2} < a_{1}} ⌊ \frac{a_{1}}{a_{2}} ⌋ \\ - & \sum_{a_{1} < n} ⌊ \frac{n}{a_{1}} ⌋ \sum_{a_{2} < a_{1}} ⌊ \frac{a_{1}}{a_{2}} ⌋ \sum_{a_{3} < a_{2}} ⌊ \frac{a_{2}}{a_{3}} ⌋ + \dots \end{aligned}

$\begin{align} \mu(n)=&1-\sum_{a_1< n} \left \lfloor \dfrac {n}{a_1}\right \rfloor \\ +&\sum_{a_1< n} \left \lfloor \dfrac {n}{a_1}\right \rfloor \sum_{a_2< a_1} \left \lfloor \dfrac {a_1}{a_2}\right \rfloor \\ -&\sum_{a_1< n} \left \lfloor \dfrac {n}{a_1}\right \rfloor \sum_{a_2< a_1} \left \lfloor \dfrac {a_1}{a_2}\right \rfloor \sum_{a_3< a_2} \left \lfloor \dfrac {a_2}{a_3}\right \rfloor + \cdots \end{align}$ Tham khảo bài viết này:https://projecteuclid.org/euclid.mjms/1513306829để biết bằng chứng về công thức.

— Hunde Eba
nguồn

Tôi thích câu trả lời của bạn. Thật không may, tôi không có quyền truy cập vào bài viết. Tôi sẽ tranh luận với bạn về việc biết các yếu tố của n: Giả sử

. Sử dụng công thức đó, chia cho 5, sử dụng phép chia dài, bạn thấy rằng 24 lần 5 bằng 120 với số dư 0, do đó, trong quá trình tính hàm số nguyên lớn nhất là 120/5, người ta thấy rằng 5 là một hệ số của 120, thậm chí mặc dù thực tế này là không cần thiết để biết công thức để làm việc.

n = 120

$n=120$

— Craig Feinstein

Kiểm tra phiên bản chỉnh sửa !! @Craig

— Hunde Eba

-22

Hãy , nơi là số nguyên tố khác nhau. Sau đó Sau đó, để tính toán , nó là cần thiết để tính toán cho mỗi $n=p_1 \dots p_k$ $p_j$

μ (n) = μ (p_{1} \dots p_{k}) = μ (p_{1}) \dots μ (p_{k}) .

$\mu(n)=\mu(p_1 \dots p_k)=\mu(p_1)\dots \mu(p_k).$

μ (n)

$\mu(n)$

μ (p_{j})

$\mu(p_j)$

p_{j}

$p_j$ . Đây ngầm đòi hỏi thừa nhận rằng

là nguyên tố của

.

p_{1} \dots p_{k}

$p_1 \dots p_k$

n

$n$

Đây là một sự tương tự: Để biết liệu có một số lẻ hoặc thậm chí số lượng hạt thạch trong một cái lọ, người ta phải đếm số hạt thạch. Đây là lý do tại sao bạn phải tính hệ số nguyên tố của một số để tính hàm Mobius của nó, khi nó không chia hết cho một hình vuông. Nhưng để biết rằng có nhiều hơn một hạt thạch trong một cái lọ, người ta không cần phải kiểm tra bất kỳ hạt thạch nào trong lọ. Người ta chỉ có thể lắc lọ và nghe rằng có nhiều hơn một hạt thạch. Đây là lý do tại sao bạn không phải tính đến một số để biết nó là hợp số. Các thuật toán như Định lý nhỏ của Fermat cho phép một người "lắc số lên" để biết nó là hợp số.

$n$ $n$ $n$ $n$ $n$ $n$ $\mu(n)=0$ $n$

— Craig Feinstein
nguồn

6

@Craig Nó vẫn sai. Bạn có thể sử dụng cùng một đối số (ngụy biện) cho vấn đề kiểm tra tổng hợp như Peter Shor đã nói. Về cơ bản, bạn đang đưa ra một thuật toán cho vấn đề của mình và nói rằng đó là cách duy nhất để tiến hành. Cho thấy một thuật toán rõ ràng là tốt nhất để giải quyết vấn đề là một trong những thách thức lớn nhất trong lý thuyết phức tạp.

— Michael Blondin

6

n \times n

$n \times n$

(A B)_{i, j} = \sum_{k = 1}^{n} A_{i, k} \cdot B_{k, j}

$(AB)_{i,j} = \sum_{k=1}^n A_{i,k} \cdot B_{k,j}$

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n^{2.807})

$O(n^{2.807})$

14

Re "Để biết liệu có một số lẻ hoặc thậm chí số lượng hạt thạch trong một cái lọ, người ta phải đếm số hạt thạch." - ngay cả điều này là không đúng sự thật. Bạn có thể kéo chúng ra theo cặp (một cho tôi một cho bạn ...) mà không thực sự đếm chúng khi bạn đi. Sau đó, khi bạn đã hết cặp để kéo, bạn có số 0 hoặc số còn lại và bạn biết tính chẵn lẻ.

— David Eppstein

12

M

$M$

6

Craig, không bao gồm nó thành số nguyên tố , vâng, bằng cách tính căn bậc hai số nguyên (được biết là có thể tính toán trong thời gian đa thức không giống như bao thanh toán), nó là 69 ^ 2. Tôi không phải tính đến yếu tố 69. Đối số đậu của bạn cho thấy bao thanh toán là bắt buộc, vì bạn phải xem xét mọi loại thạch để kiểm tra xem mọi hương vị có xảy ra thậm chí nhiều lần không.

— sdcvvc