SERF-giảm khả năng và các thuật toán phụ

Tôi có một câu hỏi liên quan đến khả năng giảm SERF của Impagliazzo , Paturi và Zane và các thuật toán phụ. Định nghĩa về khả năng giảm SERF đưa ra những điều sau đây:

Nếu là Nông nô khử để và có O ( 2 ε n ) thuật toán cho P 2 cho mỗi ε > 0 , sau đó là O ( 2 ε n ) thuật toán cho P 1 cho mỗi ε > 0 . (Tham số độ cứng cho cả hai vấn đề được ký hiệu là n .)$P_1$$P_2$$O(2^{\varepsilon n})$$P_2$$\varepsilon > 0$$O(2^{\varepsilon n})$$P_1$$\varepsilon > 0$$n$

Một số nguồn dường như ngụ ý rằng những điều sau đây cũng nắm giữ:

Nếu có thể giảm SERF thành P 2 và có thuật toán O ( 2 o ( n ) ) cho A 2 , thì có O $P_1$$P_2$$O(2^{o(n)})$$A_2$ cho P 1 .$O(2^{o(n)})$$P_1$

Câu hỏi của tôi là, yêu cầu sau này có thực sự giữ được không và nếu có, liệu có bằng chứng về việc chứng minh ở đâu đó không?

Để làm nền tảng, tôi đã cố gắng tìm hiểu khu vực xung quanh Giả thuyết Thời gian theo cấp số nhân. IPZ định nghĩa các vấn đề phụ là các vấn đề có thuật toán cho mỗi ε > 0 , nhưng điều này rõ ràng là không đủ trong kiến ​​thức hiện tại để ám chỉ sự tồn tại của thuật toán phụ cho vấn đề. Khoảng cách tương tự dường như xuất hiện trong khả năng giảm SERF, nhưng tôi phần nào hy vọng rằng tôi đang thiếu thứ gì đó ở đây ...$O(2^{\varepsilon n})$$\varepsilon > 0$

EDIT: Như đã chỉ ra bởi Ryan trong các ý kiến, một vấn đề có thể có một thuật toán không đồng dạng với thời gian chạy cho bất kỳ liên tục ε > 0 (các thuật toán có quyền truy cập vào ε ) nhưng không có thống nhất 2 o ( n ) thời gian thuật toán.$O(2^{\epsilon n})$$\epsilon > 0$$\epsilon$$2^{o(n)}$

Là một giảm Nông nô là một gia đình giảm Turing, một cho mỗi , tôi kết luận rằng họ chỉ có thể được sử dụng để có được O ( 2 ε n ) thuật toán thời gian từ O ( 2 ε n ) hoặc 2 o ( n ) thời gian thuật toán.$\epsilon>0$$O(2^{\epsilon n})$$O(2^{\epsilon n})$$2^{o(n)}$

Định lý sau đây được chứng minh bởi Chen et al. [2009] .

Định lý 2.4 . Đặt là một hàm không tăng và không giới hạn, và đặt Q là một vấn đề được tham số hóa. Sau đó, các báo cáo sau đây là tương đương: (1) Q có thể được giải quyết trong thời gian O ( 2 δ f ( k ) p ( n ) ) đối với bất kỳ liên tục δ > 0 , nơi p là một đa thức; (2) Q có thể được giải trong thời gian 2 o ( f ( k ) )$f(k)$$Q$
$Q$$O(2^{\delta f(k)}p(n))$$\delta > 0$$p$
$Q$ , trong đó q là một đa thức.$2^{o(f(k))} q(n)$$q$

Lấy chúng ta có được rằng một vấn đề có thuật toán thời gian O ( 2 ϵ n ) cho mỗi ϵ > 0 khi và chỉ khi nó có thuật toán thời gian 2 o ( n ) .$f(k)=n$$O(2^{\epsilon n})$$\epsilon>0$$2^{o(n)}$

Nó được đề cập trong bài báo của Chen et al. rằng sự tương đương này đã được sử dụng bằng trực giác trước đây nhưng nó đã gây ra một số nhầm lẫn giữa các nhà nghiên cứu.