Các thuật toán gần đúng cho TSP số liệu

Được biết, TSP số liệu có thể được xấp xỉ trong vòng và không thể xấp xỉ tốt hơn trong thời gian đa thức. Có bất cứ điều gì được biết về việc tìm các giải pháp gần đúng trong thời gian theo cấp số nhân (ví dụ: dưới bước chỉ với không gian đa thức) không? Ví dụ: trong thời gian và không gian nào chúng ta có thể tìm thấy một chuyến tham quan có khoảng cách nhiều nhất là ?$1.5$ 2n1.1×OP$123\over 122$$2^n$$1.1\times OPT$

Tôi đã nghiên cứu vấn đề và tôi tìm thấy các thuật toán nổi tiếng nhất cho TSP.

$n$ là số đỉnh,$M$ là trọng lượng cạnh cực đại. Tất cả các giới hạn được đưa ra cho một yếu tố đa thức của kích thước đầu vào ($poly(n, \log M)$ ). Chúng tôi biểu thị TSP bất đối xứng bởi ATSP.

1. Thuật toán chính xác cho TSP

1.1. Tổng ATSP

$M2^{n-\Omega(\sqrt{n/\log (Mn)})}$thời gian và$exp$-space (Bjorklund).

$2^n$ thời gian và$2^n$ không gian (Bellman;Held, Karp).

$4^n n^{\log n}$ time và$poly$ -space (Gurevich, Shelah;Bjorklund, Husfeldt).

$2^{2n-t} n^{\log(n-t)}$ thời gian và$2^t$ không gian cho$t=n,n/2,n/4,\ldots$ (Koivisto, Parviainen).

$O^*(T^n)$ thời gian và$O^*(S^n)$ không gian cho bất kỳ$\sqrt2<S<2$với$TS<4$(Koivisto, Parviainen).

$2^n\times M$Thời gian 2 n × M và đa không gian (Lokshtanov, Nederlof).

$2^n\times M$ thời gian và không gian$M$ (Kohn, Gottlieb, Kohn;Karp;Bax, Franklin).

Ngay cả đối với TSP số liệu, không có gì tốt hơn được biết đến hơn các thuật toán ở trên. Đó là một thách thức lớn để phát triển $2^n$ -time thuật toán cho TSP với không gian đa thức (xem Mở Vấn đề 2.2.b, Woeginger ).

1.2. Các trường hợp đặc biệt của TSP

$1.657^n\times M$Thời gian 1,657 n × M và xác suất lỗi nhỏ theo cấp số nhân (Bjorklund) cho TSP không xác định.

$(2-\epsilon)^n$ và không gian hàm mũ cho TSP trong đồ thị với mức độ trung bình giáp,$\epsilon$ chỉ phụ thuộc vào mức độ của đồ thị (Cygan, Pilipczuk;Björklund, Kaski, Koutis).

$(2-\epsilon)^n$ và$poly$ -space cho TSP trong đồ thị với mức độ tối đa bị chặn và trọng lượng nguyên bị chặn,$\epsilon$ chỉ phụ thuộc vào mức độ của đồ thị (Björklund, Husfeldt, Kaski, Koivisto).

$1.251^n$ và$poly$ -space cho TSP trong đồ thị hình khối (Iwama, Nakashima).

$1.890^n$ và$poly$ -space cho TSP trong các biểu đồ mức$4$ (Eppstein).

$1.733^n$ và không gian hàm mũ cho TSP trong đồ thị cấp$4$ (Gebauer).

$1.657^n$ thời gian và$poly$ -space cho vô hướng Hamiltomian Cycle (Björklund).

$(2-\epsilon)^n$ và không gian hàm mũ cho TSP trong đồ thị với ít nhất$d^n$ chu kỳ Hamilton (đối với bất kỳ không đổi$d$ ) (Björklund, Kaski, Koutis).

2. Các thuật toán gần đúng cho TSP

2.1. TSP chung

Không thể tính gần đúng trong bất kỳ hàm tính toán thời gian đa thức nào trừ khi P = NP ( Sahni, Gonzalez ).

2.2. TSP số liệu

$3 \over 2$ -appro xấp xỉ (Christofides).

Không thể xấp xỉ với tỷ lệ tốt hơn $123\over 122$ trừ khi P = NP (Karpinki, Lampis, Schmied).

2.3. Đồ họa TSP

$7\over5$ -appro xấp xỉ (Sebo, Vygen).

2.4. (1,2) -TSP

MAX-SNP cứng ( Papadimitriou, Yannakakis ).

$8 \over 7$ -appro xấp xỉ (Berman,Karpinki).

2.5. TSP trong số liệu với kích thước giới hạn

PTAS cho TSP trong không gian Euclide chiều cố định ( Arora ; Mitchell ).

TSP là APX-cứng trong một $\log{n}$ không gian Euclide chiều ( Trevisan ).

PTAS cho TSP theo số liệu với kích thước nhân đôi giới hạn ( Bartal, Gottlieb, Krauthgamer ).

2.6. ATSP với bất đẳng thức tam giác có hướng

$O(1)$ -appro xấp xỉ (Svensson, Tarnawski, Végh)

Không thể xấp xỉ với tỷ lệ tốt hơn $75\over 74$ trừ khi P = NP (Karpinki, Lampis, Schmied).

2.7. TSP trong đồ thị với trẻ vị thành niên bị cấm

PTAS thời gian tuyến tính ( Klein ) cho TSP trong đồ thị phẳng.

PTAS cho các đồ thị nhỏ miễn phí ( Demaine, Hajiaghayi, Kawarabayashi ).

$22\frac{1}{2}$ -appro xấp xỉ cho ATSP trong đồ thị phẳng (Gharan, Saberi).

$O(\frac{\log g}{\log\log g})$-approximation cho ATSP trong genus-$g$đồ thị (Erickson, Sidiropoulos).

2.8. MAX-TSP

$7\over9$ -appro xấp xỉ cho MAX-TSP (Paluch, Mucha, Madry).

$7\over8$ xấp xỉ cho MAX-Metric-TSP (Kowalik, Mucha).

$3\over4$ xấp xỉ cho MAX-ATSP (Paluch).

$35\over44$ -appro xấp xỉ cho MAX-Metric-ATSP (Kowalik, Mucha).

2.9. Xấp xỉ theo thời gian theo cấp số nhân

$(1+\epsilon)$$2^{(1-\epsilon/2)n}$$\epsilon\le \frac{2}{5}$$4^{(1-\epsilon/2)n} n^{\log n}$$\epsilon \leq \frac{2}{3}$

Tôi sẽ biết ơn bất kỳ bổ sung và đề xuất.

$O^*(1.932^n)$$O^*(2^n)$$n$$(1+\epsilon)$$O^*(2^{(1-\epsilon/2)n})$$\epsilon \le 2/5$

Nicolas Boria, Nicolas Bougeois, Bruno Escoffier, Vangelis Th. Paschos: Các lược đồ xấp xỉ theo cấp số nhân cho một số vấn đề về đồ thị. Có sẵn trực tuyến .

$\alpha$$\beta$$\alpha < \beta$$\gamma$$\alpha, \beta]$$\gamma$$\theta$$\gamma$$2^{n^{O(\theta)}}$$\gamma$(ít nhất là trong phạm vi hệ số không đổi) thấy các cải thiện về tỷ lệ gần đúng ngay cả khi được tính theo thời gian theo cấp số nhân. Có một số vấn đề trong đó kết quả độ cứng tốt nhất được biết là thông qua việc giảm hiệu quả từ SAT, nghĩa là, kết quả độ cứng nằm dưới một giả định yếu hơn như NP không có trong thời gian đa thức. Trong những trường hợp như vậy, người ta có thể có được xấp xỉ tốt hơn trong thời gian theo cấp số nhân. Người duy nhất tôi biết là vấn đề cây Steiner nhóm. Một kết quả nổi tiếng gần đây là một trong những Arora-Barak-Steurer trên thuật toán thời gian theo cấp số mũ cho các trò chơi độc đáo: kết luận chúng tôi rút ra từ kết quả này là nếu UGC là đúng thì việc giảm từ SAT xuống UGC phải là một số không hiệu quả, nghĩa là kích thước của thể hiện của UGC thu được từ công thức SAT phải tăng lên với các tham số theo một kiểu nhất định.

Các tsp tốt nhất cho đồ thị chi giới hạn có trọng số là http://erikdemaine.org/ con /ContractionTSP_Combinatorica / .