Làm cho phân rã cây có chiều rộng tối thiểu nạc trong thời gian đa thức

Như đã biết, phân rã cây của đồ thị bao gồm một cây với một túi liên kết cho mỗi đỉnh , thỏa mãn các điều kiện sau: $G$ $T$ $T_v \subseteq V(G)$ $v \in V(T)$

Mỗi đỉnh của xảy ra ở một số túi của . $G$ $T$
Đối với mỗi cạnh của có một túi chứa cả hai điểm cuối của cạnh. $G$
Đối với mỗi đỉnh , các túi chứa tạo ra một cây con kết nối của . $v \in V(G)$ $v$ $T$

Chúng tôi cũng có thể yêu cầu điều kiện sau đây, được gọi là độ nạc , từ sự phân hủy của chúng tôi:

Với mỗi cặp túi , của , nếu và với , sau đó a) có đỉnh-disjoint trong hoặc b) cây chứa một cạnh trên đường dẫn từ nút đến nút sao cho và tập cắt tất cả đường dẫn trong . $T_a$ $T_b$ $T$ $A \subseteq T_a$ $B \subseteq T_b$ $|A| = |B| = k$ $k$ $A-B$ $G$ $T$ $pq$ $a$ $b$ $|V(T_p) \cap V(T_q)| \leq k$ $V(T_p) \cap V(T_q)$ $A-B$ $G$

Robin Thomas đã chỉ ra rằng luôn luôn có một sự phân rã cây có chiều rộng tối thiểu cũng gầy, và bằng chứng đơn giản hơn về thực tế này đã được cung cấp bởi một số tác giả, ví dụ như Patrick Bellenbaum & Reinhard Diestel .

Điều tôi quan tâm là như sau: đưa ra biểu đồ và phân rã cây có chiều rộng tối thiểu , chúng ta có thể tìm thấy phân rã cây nạc có chiều rộng tối thiểu của trong thời gian đa thức không? $G$ $G$ $G$

Hai bằng chứng được đề cập không mang lại hiệu quả xây dựng như vậy. Trong bài báo của Bellenbaum và Diestel có đề cập rằng "Một bằng chứng ngắn khác (mang tính xây dựng hơn) về định lý Thomas đã được đưa ra trong P. Bellenbaum, Schlanke Baumzerlegungen von Graphen, Diplomarbeit, Universitat Hamburg 2000." Than ôi, tôi đã không thể tìm thấy bản thảo trực tuyến và tiếng Đức của tôi không phải là tuyệt vời.

— Bart Jansen
nguồn

Câu hỏi hay. Tìm một phân tách cây có chiều rộng tối thiểu là NP-Hard để vấn đề của bạn hơi khó hiểu (nó xuất hiện). Tôi đoán là người ta có thể yêu cầu điều này cho trường hợp treewidth bị ràng buộc hoặc theo nghĩa gần đúng.

— Chandra Chekuri

Nhưng trong trường hợp của anh ta, anh ta đã cho một phân rã cây có chiều rộng tối thiểu và anh ta muốn một thuật toán để làm cho nó nghiêng.

— Suresh Venkat

@SureshVenkat: Tôi nhận ra rằng anh ta được phân tách cây có chiều rộng tối thiểu nhưng làm thế nào bạn có thể xác minh rằng nó là chính xác? Hơn nữa, phân rã cây nạc thích nghi cục bộ với treewidth của các phần khác nhau của biểu đồ, do đó, việc phân rã cây của biểu đồ toàn cầu là tối ưu không tránh được vấn đề tìm kiếm treewidth của các mảnh cục bộ.

— Chandra Chekuri

Phân rã cây trơn tru (trong đó tất cả các túi có cùng kích thước và hai túi liền kề khác nhau bởi một đỉnh) dễ xử lý hơn nhiều so với phân rã cây nói chung, và dễ dàng nhận thấy rằng luôn có phân rã cây có chiều rộng tối thiểu, trơn tru . Vì vậy, có lẽ bạn có thể có được một công trình hiệu quả bằng cách hạn chế một trong những công trình đã biết đối với những công trình này. Có phải luôn luôn tồn tại một phân rã cây có chiều rộng tối thiểu là mịn và nạc?

— Diego de Estrada

@ChandraChekuri Tôi cho rằng vấn đề xác minh sẽ biến mất nếu bạn diễn đạt nó như một vấn đề hứa hẹn, nhưng tôi thấy quan điểm của bạn về việc phân tách một cây không nhất thiết phải cung cấp cho bạn đủ thông tin để thích nghi. Nhưng câu hỏi sau đây có thể hợp lý: có cách nào để "cục bộ" sửa đổi một phân rã cây đã cho để làm cho nó "nạc" mà không làm tăng treewidth không?

— Suresh Venkat

Đây là một lý do chính thức tại sao vấn đề không thể giải quyết được nhiều lần trừ khi P = NP. Chúng tôi biết rằng việc tìm ra treewidth của một biểu đồ đã cho là NP-Hard. Cho một đồ thị chúng ta có thể thêm một cụm phân biệt kích thước để tạo một đồ thị mới . Một cây phân hủy min-width của có thể thu được như sau: nó có hai nút với một túi chứa tất cả các nút của bè lũ và người kia có chứa tất cả các nút của . Bây giờ làm này cây phân hủy nạc sẽ đòi hỏi việc tìm kiếm một phân hủy nạc cây của đồ thị ban đầu mà sẽ, như một sản phẩm phụ, cung cấp cho các treewidth của . $G$ $V(G)+1$ $G'$ $G'$ $G$ $G$ $G$

— Chandra Chekuri
nguồn

Điểm tốt. Bạn có biết nếu có bất cứ điều gì được biết về các thuật toán thời gian theo cấp số nhân và / hoặc số mũ vừa phải để tìm phân tách cây nạc không?

— Bart Jansen