Tách một khối đa diện được xử lý trước và một mặt phẳng

Tôi gặp khó khăn nghiêm trọng khi hiểu một bước trong bài báo của Dobkin và Kirkpatrick về việc tách các khối đa diện. Tôi đang cố gắng để hiểu phiên bản này: http://www.cs.princeton.edu/~dpd/Papers/SCG-09-invited/old%20auge/DPD+Kirk.pdf

Nó lập luận rằng sau khi chúng ta biết sự phân tách tốt nhất của và , được nhận ra bởi và , chúng ta có thể tìm thấy sự phân tách tốt nhất của các bước và trong . Điều này được thực hiện theo cách sau. Chúng ta đưa mặt phẳng song song với qua và cắt thành hai phần với nó. Ở một bên, điểm gần nhất với là và mặt khác chúng ta có một khối đa diện `` sơ cấp '' mà chúng ta có thể kiểm tra trong thời gian . Vấn đề của tôi là - làm thế nào để chúng ta tìm thấy khối đa diện cơ bản này? Lưu ý rằng mức độ của S r i s i P i - 1 S O ( 1 ) S r i P i - 1 S r i O ( 1 ) r $P_{i}$$S$$r_i$$s_i$$P_{i-1}$$S$$O(1)$$S$$r_i$$P_{i-1}$$S$$r_i$$O(1)$$r_i$trong có thể không bị ràng buộc.$P_{i-1}$

Trong bản pdf để chứng minh Thm 5.1 từ trang 9, họ sử dụng Thm 3.1 từ trang 4, điều này làm cho toàn bộ điều khó theo dõi hơn.

Trả lời cập nhật và viết lại từ đầu.

Bạn đang đưa ra một polytope . Chạy hệ thống phân cấp Dobkin-Kirkpatric trên P. này mang đến cho bạn một chuỗi các polytops P 1 ⊆ P 2 ⊆ ... ⊆ P k = P . Giả sử bạn muốn tìm điểm gần nhất trên P đến điểm truy vấn q . Các cơ bản bắt đầu thuật toán bằng cách tính điểm gần nhất c 1 đến q trên P 1 , sau đó nó xem xét tất cả các khu vực mới (lều) tiếp giáp với c 1 , tìm điểm gần nhất c 2 đến $P$$P_1 \subseteq P_2 \subseteq \ldots \subseteq P_k = P$$P$$q$$c_1$$q$$P_1$$c_1$$c_2$$q$ở những khu vực mới này, và tiếp tục theo cách này cho đến khi chúng ta đạt đến .$P_k$

Bây giờ, nếu ở trên một cạnh, thì không có vấn đề gì - chỉ có hai lều có thể chạm vào cạnh này, hoặc chỉ một trong số chúng có thể bao phủ cạnh đó. Như vậy, việc cập nhật c i + 1 từ C i trong trường hợp này mất thời gian không đổi.$c_i$$c_{i+1}$$C_i$

Vì vậy, vấn đề là khi nằm trên một đỉnh có độ cao, bởi vì sau đó số lều mới liền kề với nó khi di chuyển đến P i + 1 có thể lớn. Để khắc phục điều này, chúng ta sẽ mô phỏng một đỉnh độ lớn như một tập hợp các đỉnh có độ thấp. Đặc biệt, ở mỗi giai đoạn, nếu c i nằm trên một đỉnh v , chúng ta sẽ nhớ hai cạnh liên tiếp e i , e ′ i liền kề với v , sao cho điểm gần nhất với q trong P i + $c_i$$P_{i+1}$$c_i$$v$$e_i, e_i'$$v$$q$$P_{i+1}$nằm trên một cái lều liền kề hoặc che một trong hai cạnh này. Như vậy, chúng ta có thể thực hiện tính toán cần thiết trong thời gian không đổi.

Vì vậy, chúng tôi vẫn còn vấn đề làm thế nào để theo dõi hai cạnh này khi chúng tôi leo lên.

Để làm điều đó, tính toán trước cho mỗi đỉnh của P một hướng tiếp tuyến t v . Đặt Q i ( v ) là đa giác lồi là hình đỉnh của v cho đa giác P i (với mặt phẳng xác định hình đỉnh có bình thường theo hướng của t v ). Về mặt khái niệm, Q 1 ( v ) , Q 2 ( v ) , . . . , Q k ( v $v$$P$$t_v$$Q_i(v)$$v$$P_i$$t_v$$Q_1(v), Q_2(v), ..., Q_k(v)$hành xử như một hệ thống phân cấp 2d DK. Nếu điểm gần nhất trên đến q nằm trên một đỉnh w thì điểm này tương ứng với v và cạnh e ở P i , trong đó cạnh e cắt mặt phẳng của hình đỉnh tại w . Nếu điểm gần nhất trên Q i ( v ) để q dối trá trên một cạnh e ' , sau đó bạn nhớ hai cạnh kề của P i xác định hai đỉnh của e ' (ở đây$Q_i(v)$$q$$w$$v$$e$$P_i$$e$$w$$Q_i(v)$$q$$e'$$P_i$$e'$ thuộc về Q i ( v ) ).$e'$$Q_i(v)$

Và bây giờ chúng ta đã hoàn thành ... Thật vậy, nếu cũng nằm trên Q i + 1 ( v ) thì chúng ta có thể cập nhật nó trong thời gian không đổi (vì đây chỉ là hệ thống phân cấp 2d DK). Nếu mặt khác c i + 1 không còn trên Q i + 1 ( v ) thì nó phải thuộc về một cái lều mới liền kề hoặc bao phủ điểm trước c i . Trong cả hai trường hợp, chúng tôi có thể cập nhật nó trong thời gian liên tục.$c_{i+1}$$Q_{i+1}(v)$$c_{i+1}$$Q_{i+1}(v)$$c_{i}$

Định lý 3.1 yêu cầu biểu diễn phân cấp của là nhỏ gọn . Một trong những yêu cầu về độ nén là mức độ r i trong P i - 1 được giới hạn bởi một hằng số. Xem dưới cùng của trang 3.$P$$r_i$$P_{i-1}$

Định nghĩa và xây dựng hệ thống phân cấp Dobkin-Kirkpatrick rõ ràng hơn nhiều trong các bài viết trước đây của họ (tài liệu tham khảo [9,10,11] trong bài báo bạn đang đọc). Tôi thực sự khuyên bạn nên đọc chúng trước.

Trong trường hợp ai đó vẫn sẽ quan tâm đến câu hỏi: đoạn trích trong lời giải thích của Dobkin Kirpatrick cũng đã được chỉ ra trong phát hiện tối ưu của Barba và Langerman về các giao điểm giữa các khối đa diện lồi .

Họ quan sát trong bài báo (phiên bản SODA 2015, không phải arxiv) rằng Hình học tính toán của O'Rourke trong C , chương 7 đã nêu chi tiết một cách giải quyết (về cơ bản là câu trả lời của Sariel). Bài báo SODA cũng giới thiệu một giải pháp thay thế; xác định một biến thể của hệ thống phân cấp DK trong đó mỗi đỉnh có giới hạn mức độ.