Giới hạn dưới tốt nhất hiện tại trên 3SAT là gì?

46

Các giới hạn thấp nhất hiện tại tốt nhất cho thời gian và độ sâu mạch cho 3SAT là gì?

cc.complexity-theory lower-bounds sat

— Joe Fitzsimons
nguồn

43

Theo như tôi biết, thời gian "độc lập với mô hình" được biết đến nhiều nhất đối với SAT là như sau. Đặt và là thời gian chạy và không gian giới hạn của bất kỳ thuật toán SAT nào. Sau đó, chúng ta phải có thường xuyên. Lưu ý . (Kết quả rằng Suresh trích dẫn là một chút lỗi thời.) Kết quả này xuất hiện trong STACS năm 2010, nhưng đó là một bản tóm tắt dài một bài báo dài hơn nhiều, mà bạn có thể nhận được ở đây: http://www.cs.cmu.edu/~ ryanw / tự động-lbs.pdf $T$ $S$ $T \cdot S \geq n^{2 \cos(\pi/7) - o(1)}$ $2 \cos(\pi/7) \approx 1.801$

Tất nhiên, công việc trên được xây dựng dựa trên rất nhiều công việc trước đó được đề cập trong blog của Lipton (xem câu trả lời của Suresh). Ngoài ra, khi không gian giới hạn S gần với n, thời gian giới hạn dưới T cũng gần với n. Bạn có thể chứng minh một "sự đánh đổi không gian thời gian" tốt hơn trong chế độ này; xem khảo sát của Dieter van Melkebeek về giới hạn không gian thời gian SAT từ năm 2008.

Nếu bạn giới hạn bản thân trong các máy Turing đa nhiệm, bạn có thể chứng minh vô cùng thường xuyên. Điều đó đã được chứng minh bởi Rahul Santhanam, và xuất phát từ một giới hạn thấp hơn tương tự được biết đến với PALINDROMES trong mô hình này. Chúng tôi tin rằng bạn sẽ có thể chứng minh giới hạn dưới bậc hai là "độc lập với mô hình" nhưng điều đó đã khó nắm bắt trong một thời gian. $T \cdot S \geq n^{2-o(1)}$

Đối với các mạch không đồng nhất có quạt vào giới hạn, tôi biết không có độ sâu nào bị ràng buộc thấp hơn tốt hơn . $\log n$

— Ryan Williams
nguồn

2

chúng tôi đang làm việc trên nó. Xem liên kết này: meta.cstheory.stackexchange.com/questions/3/latex-math-support

— Suresh Venkat

2

@vinayak: Câu lệnh trong đó "vô cùng thường xuyên" xuất hiện ở trên là phủ định của: "Có thuật toán SAT sao cho , hầu hết mọi nơi. " Phủ định của "hầu hết mọi nơi" là "vô cùng thường xuyên", điều đó có nghĩa là đối với mọi thuật toán, có vô số trường hợp mà nó không giải quyết được trường hợp với một sản phẩm nhỏ về thời gian và không gian.

T \cdot S \leq n^{2 \cos (π / 7) + o (1)}

$T \cdot S \leq n^{2 \cos(\pi/7)+o(1)}$

— Ryan Williams

2

Thật đáng ngạc nhiên khi chúng tôi có giới hạn thấp hơn trên cho vấn đề thực sự dễ dàng về tính khác biệt của yếu tố ( của Yao) so với SAT!

T \cdot S

$T \cdot S$

T \cdot S = Ω (n^{2 - o (1)})

$T \cdot S = \Omega(n^{2-o(1)})$

— Warren Schudy

1

@Warren, không hẳn, theo như tôi biết. Các giới hạn thấp hơn như Yao dành cho mô hình chương trình phân nhánh dựa trên so sánh , gần như không biểu cảm như một máy truy cập ngẫu nhiên có mục đích chung. Người ta có thể tưởng tượng việc giải quyết sự khác biệt của yếu tố mà không có sự so sánh trực tiếp giữa các yếu tố.

— Ryan Williams

1

@Turbo giới hạn dưới tốt nhất cho 3sat với nhiều mệnh đề tuyến tính giống như những gì tôi đã viết, bởi vì việc giảm từ sat xuống 3sat là cực kỳ cục bộ. Đọc các tài liệu về chủ đề cũng sẽ cho thấy điều này.

— Ryan Williams

17

Một câu trả lời một phần: như Richard Lipton đã phác thảo trong bài đăng này , giới hạn tốt nhất là sự đánh đổi không gian thời gian, yêu cầu giới hạn thấp hơn về thời gian với không gian . Giới hạn được biết đến nhiều nhất trong tĩnh mạch này là do Ryan Williams, người đưa ra một ràng buộc có dạng , trong đó hơi nhiều hơn . $o(n)$ $n^c$ $c$ $\sqrt{3}$

— Suresh Venkat
nguồn

1

Tôi nghĩ rằng giới hạn thực sự là không gian , không phải không gian . Xem bản tóm tắt của bài viết của Williams: cs.cmu.edu/~ryanw/ccc05.pdf

n^{o (1)}

$n^{o(1)}$

o (n)

$o(n)$

— Dan Brumleve

11

Hiểu biết của tôi là, không có giả định bổ sung, chúng tôi không có thời gian siêu tuyến, như trong cho hằng số , giới hạn dưới trong 3SAT. $\Omega(n^c)$ $c > 1$

— Lev Reyzin
nguồn

4

Sự hiểu biết của tôi cũng giống như Lev Reyzin. Có thể tồn tại một thuật toán hoàn chỉnh xác định cho SAT chạy trong không gian O (n) và trong thời gian O (n). Thật đáng kinh ngạc khi sự tồn tại của một thuật toán hiệu quả như vậy không bị cấm.

— Giorgio Quayani
nguồn