Bất đẳng thức kiểu Chernoff cho các biến ngẫu nhiên độc lập theo cặp

Các bất đẳng thức kiểu Chernoff được sử dụng để chỉ ra rằng xác suất một tổng các biến ngẫu nhiên độc lập sai lệch đáng kể so với giá trị mong đợi của nó là nhỏ theo cấp số nhân trong giá trị dự kiến ​​và độ lệch. Có bất đẳng thức kiểu Chernoff cho bất kỳ tổng các biến ngẫu nhiên độc lập cặp nào không? Nói cách khác, có một kết quả cho thấy những điều sau đây: xác suất mà một tổng các biến ngẫu nhiên độc lập theo cặp lệch khỏi giá trị dự kiến ​​của nó là nhỏ theo cấp số nhân trong giá trị dự kiến ​​và độ lệch?

Sự độc lập theo cặp là không đủ đối với một loại Chernoff bị ràng buộc vào kỳ vọng.

Này xuất phát từ thực tế rằng có không gian mẫu -Kích thước trên n 0-1 biến ngẫu nhiên, nơi mà tất cả các biến là cặp độc lập, và mỗi có thể thay đổi là thống nhất (nó là 1 với xác suất 1 / 2 ). Vì vậy, giá trị kỳ vọng của tổng của họ là n / 2 . Nhưng vì chỉ có p o l y ( n ) các sự kiện có thể có trong không gian mẫu, nên ngay cả xác suất một tổng chính xác là một giá trị cụ thể v ít nhất là 1 / p $poly(n)$$n$$1$$1/2$$n/2$$poly(n)$$v$ (do đó, nó không thể nhiều nhất là 1 / e x p ( n ) ).$1/poly(n)$$1/exp(n)$

Để tham khảo về xây dựng không gian mẫu này, xem trang 11-12 trong khảo sát này .

Nếu bạn có tính độc lập theo cặp, thì bạn có thể ràng buộc phương sai của tổng, và do đó có được một nồng độ bị ràng buộc bằng cách sử dụng bất đẳng thức của Ch Quashev.

Có tất cả các loại kết quả của loại này trong cuốn sách Dubhashi-Panconesi . Một tài liệu tham khảo tiêu chuẩn của loại này là tác phẩm năm 1993 của Schmidt, Siegel và Srinivasan có tiêu đề (đủ thích hợp) "Giới hạn của Hooffff cho các ứng dụng có tính độc lập hạn chế "