Sự phức tạp trong giao tiếp với trọng tài

Giả sử một khung trong độ phức tạp trong giao tiếp, nơi chúng tôi có hai người chơi A (chấy) và B (ob) và R (eferee). A và B không liên lạc trực tiếp với nhau. Trong mỗi vòng giao tiếp, mỗi người trong số họ gửi một tin nhắn ( , ) đến R. R tính hai hàm và $m_A$ $m_B$ $f_A(m_A,m_B)$ và gửi kết quả đối với họ. Các chức năng được cố định. Ý tưởng là giao tiếp giữa những người chơi bị hạn chế. Ngoài ra, trọng tài có thể xử lý một số thông điệp. $f_B(m_A,m_B)$

Thí dụ:

A và B gửi hai số (lớn tùy ý) đến R, R kiểm tra số nào trong số chúng lớn hơn và thông báo cho người chơi.

Trong khung này, chúng ta có thể thiết kế một giao thức đơn giản, dễ dàng tính toán hàm sau bằng một vòng duy nhất. A và B gửi và đến R, R trả về câu trả lời cho họ và họ đưa ra câu trả lời. $x$ $y$

f (x, y) = = {\begin{cases} 0 & x \leq y \\ 1 & o w \end{cases}

$f(x,y)= \begin{cases}0 & x\leq y\\ 1 & ow \end{cases}$

Rõ ràng đây không phải là một trường hợp thú vị, vì chức năng chúng ta đang tính toán giống như các chức năng trọng tài. Một trường hợp thú vị hơn là khi chúng ta có một cố định tuyến tính bất bình đẳng và các giá trị cho các biến được phân chia giữa người chơi (A có và B có ). Nhiệm vụ là quyết định xem sự bất bình đẳng có đúng không. Giao thức trong trường hợp này là người chơi tính toán phần của họ và sau đó gửi chúng cho trọng tài. $\vec{a} \cdot \vec{x} \leq \vec{b} \cdot \vec{y}$ $\vec{x}$ $\vec{y}$

Câu hỏi:

Loại phức tạp truyền thông này đã được nghiên cứu? Nếu có, tôi có thể tìm thêm về điều này ở đâu?

lưu ý 1: trên trang 49 Kushilevitz và Nisan đề cập đến một khung liên quan đến trọng tài nhưng có vẻ rất khác với những gì tôi đang hỏi.

lưu ý 2: Tôi không chắc chắn nếu gọi R là trọng tài là điều đúng đắn, vui lòng nhận xét nếu bạn có đề xuất tốt hơn.

cc.complexity-theory reference-request communication-complexity

— Kaveh
nguồn

mô hình mà bạn đang đề cập có tên là "Truyền tin nhắn đồng thời"

— Marcos Villagra

kiểm tra bài viết này ( arxiv.org/abs/quant-ph/0102001 ) và tài liệu tham khảo của nó. Cụ thể, hãy kiểm tra các giấy tờ của Ambainis, và Newman và Szegedy.

— Marcos Villagra

đây là một bài báo gần đây của Raoul Jahin ieeexplore.ieee.org/xpl/iêu

— Marcos Villagra

@MarcosVillagra: SMP giống với Note 1 của Kaveh, phải không?

— Alessandro Cosentino

@Marcos, cảm ơn, tôi sẽ kiểm tra chúng, nhưng dựa trên những tóm tắt, dường như SMP khác với những gì tôi đang mô tả. (Tôi sẽ cố gắng đưa ra một ví dụ tốt hơn để làm rõ rằng những người chơi đang sử dụng R để giao tiếp có thể mất vài vòng.) Ps: Tôi nghĩ sẽ tốt hơn nếu bạn đăng những bình luận này như một câu trả lời.

— Kaveh

Câu trả lời:

Tôi chắc rằng bạn biết bài báo sau, nhưng tôi đặt một liên kết đến nó bởi vì những người đọc khác có thể quan tâm: Nội suy theo Trò chơi

Bài viết này là một nỗ lực để sử dụng khung độ phức tạp truyền thông để hiển thị giới hạn thấp hơn cho các mặt phẳng cắt. Các giao thức được sử dụng để tạo ra một mạch interpolant cho không thể thoả mãn CNF:

A (x, y) \lor B (x, z) .

$A(x,y)\lor B(x,z).$

Người chơi được nhập và , người chơi được và $A$ $a$ $y^a$ $B$ $b$ $z^b$ . Nếu có một bằng chứng giống như cây nông trong việc cắt các mặt phẳng thì hai người chơi có một giao thức liên lạc sao cho

bất kỳ thông tin liên lạc nào được trung gian bởi trọng tài, giúp đánh giá sự bất bình đẳng trong bằng chứng;
số lượng giao tiếp nhỏ (cây nông);
hai người chơi quyết định hoặc bị làm sai lệch; $A$ $B$
họ tìm thấy một vị trí trong đó . $i$ $a_i \not= b_i$

Trọng tài được biến thành một giao thức xác suất cho sự bất bình đẳng. Theo cách này, có thể biến giới hạn dưới của các giao thức xác suất giống như cây trong khung độ phức tạp truyền thông thành giới hạn thấp hơn cho các bằng chứng cắt mặt phẳng giống như cây.

Nếu chúng ta có giới hạn thấp hơn cho giao thức truyền thông dưới dạng PLS, thì chúng ta sẽ bị ràng buộc thấp hơn đối với các bằng chứng cắt mặt phẳng giống như dag.

Lưu ý rằng kỹ thuật này không phụ thuộc vào quy tắc suy luận thực tế của việc cắt các mặt phẳng. Nếu chúng ta giả sử các quy tắc suy luận là (1) kết hợp dương (2) phép chia số nguyên với sàn, chúng ta có thể xây dựng mạch nội suy đơn điệu bằng cách sử dụng đối số Pavel Pudlák .

— MassimoLauria
nguồn

Trên thực tế, tôi đã cố gắng tìm hiểu xem một cái gì đó tổng quát hơn cái này đã được nghiên cứu về độ phức tạp trong giao tiếp, vì vậy tôi đã không đề cập đến các mức độ phức tạp chứng minh và phép nội suy khả thi không làm sai lệch các câu trả lời, nhưng cảm ơn. :)

— Kaveh

Vâng, tôi nghĩ rằng. Nhưng các độc giả khác của diễn đàn này có thể quan tâm và có thể quan tâm đến bằng chứng phức tạp.

— MassimoLauria

Chỉ cần một vài nhận xét. Đầu tiên, tôi hoàn toàn không thể thấy tại sao chúng ta cần một trọng tài cả. Nếu chức năng của anh ấy / cô ấy được biết đến cho các cầu thủ, tại sao sau đó họ không thể chỉ mô phỏng trọng tài? Alice gửi cho Bob, anh ta (không nhìn thấy ) tính , sau đó anh ta tính và nói kết quả cho Alice. Có lẽ bạn cho rằng là không biết đến Bob, và để Alice? $m_A$ $m_A$ $m_B$ $f(m_A,m_B)$ $f_A$ $f_B$

Thứ hai, các giao thức liên quan đến bất đẳng thức tuyến tính thực sự thú vị trong bối cảnh cắt bằng chứng mặt phẳng. Trong trường hợp này, thậm chí đủ để xem xét các giao thức, trong đó hình thức của thông điệp rất hạn chế : chỉ có thể truyền đạt các giá trị của một số tổ hợp tuyến tính của các biến đầu vào.

Nói chính xác hơn một chút, giả sử chúng ta được cung cấp một hệ thống bất đẳng thức tuyến tính với các hệ số nguyên. Chúng tôi biết rằng hệ thống không có giải pháp - . Các biến số bằng cách nào đó được phân chia giữa các người chơi (theo cách năm mươi năm mươi); đây là kịch bản "phân vùng tồi tệ nhất": đối thủ có thể chọn phân vùng "tệ nhất". Đưa ra chuỗi - , mục tiêu của người chơi là tìm ra sự bất bình đẳng không thỏa mãn. Đó là, câu trả lời bây giờ không phải là một bit, mà là tên của một bất đẳng thức trong hệ thống của chúng tôi. (Đây là một trò chơi giao tiếp kiểu Karchmer-Wigderson.) $0$ $1$ $0$ $1$

Bây giờ xem xét các giao thức hạn chế sau đây cho một trò chơi như: (i) các trọng tài hoạt động nếu chỉ khi và chỉ khi , (ii) các thông điệp của người chơi bị hạn chế tuyến tính người: trong mỗi vòng, Alice phải gửi tin nhắn có dạng và Bob tin nhắn có dạng . $f(\alpha,\beta)=1$ $\alpha \leq \beta$ $m_A(\vec{x})=\vec{c}\cdot \vec{x}$ $m_B(\vec{y})=\vec{d}\cdot \vec{y}$

Impagliazzo, Pitassi và Urquhart (1994) đã quan sát những điều sau: Nếu tất cả các hệ số được sử dụng trong chứng minh mặt phẳng cắt đều là đa thức về số lượng biến, và nếu trò chơi này cần bit giao tiếp, thì mọi chứng minh giống như cây đều không thỏa mãn hệ thống đã cho phải tạo ra bất đẳng thức . Sau đó, họ đã sử dụng các giới hạn thấp hơn đã biết về độ phức tạp trong giao tiếp để đưa ra một hệ thống rõ ràng yêu cầu bằng chứng về kích thước theo cấp số nhân. Nhược điểm của kết quả này là hệ thống rất giả tạo , nó tương ứng với không có vấn đề tối ưu hóa "thực sự". Do đó, đây là một câu hỏi thú vị để đưa ra giới hạn thấp hơn cho các vấn đề tối ưu hóa "thực sự". $t$ $\exp(t/\log n)$

Một trong những vấn đề như vậy là vấn đề Đặt độc lập cho biểu đồ. Cho đồ thị chúng ta có thể liên kết với mỗi đỉnh một biến và xem xét hệ bất phương trình bao gồm bất đẳng thức và tất cả các bất đẳng thức cho tất cả các cạnh của . Vì mỗi - $G=(V,E)$ $u$ $x_u$ $\sum_{v\in V}x_v>\alpha(G)$ $x_u+x_v\leq 1$ $uv$ $G$ $0$ $1$ giải pháp cho hệ thống con của các bất đẳng thức sau này đưa ra một tập hợp độc lập trong , toàn bộ hệ thống không có giải pháp zero-one. Sự phức tạp giao tiếp của các trò chơi cho các hệ thống như vậy là gì? $G$

$=(L\cup R,E)$ $A\subseteq L$ $B\subseteq R$ $|A\cup B|>\alpha(G)$ $A$ $B$ $\alpha(G)$ $L$ $R$ $n\times n$ $\omega(\log^2 n)$

@Kaveh: Xin lỗi vì đã "trả lời" câu hỏi của bạn bằng câu hỏi.

— Stasys
nguồn

Tôi quan tâm đến khung cc chung hơn các ứng dụng đã biết về độ phức tạp của bằng chứng. Các chức năng được sử dụng bởi trọng tài đã được biết (chúng được cố định như tôi đã nói). Có một số vấn đề tại sao tôi quan tâm đến mô hình này nhưng điểm chính là về cách chúng ta sẽ đo lượng truyền thông. Nếu chúng ta quan tâm đến tổng số bit được truyền đạt thì có thể mô phỏng giao thức như bạn đã nói. Nhưng nếu chúng ta muốn xem xét một số biện pháp phức tạp khác như số vòng thì tôi nghĩ nó khác. Ví dụ: trong một trường hợp đã được sử dụng trong

— Kaveh

độ phức tạp bằng chứng mỗi cầu thủ gửi một số thực cho trọng tài. Một số thực có thể mã hóa vô số bit, vì vậy nếu bạn muốn mô phỏng điều này, chúng ta phải gửi một số lượng bit vô hạn, và nếu chúng ta cho phép điều đó thì chúng ta có thể gửi toàn bộ đầu vào, vì vậy nó trở nên không thú vị. Nhưng đếm số vòng trong khung với trọng tài, chúng tôi có được một biện pháp khác có thể hữu ích (như trong bằng chứng của Pavel Pudlak).

— Kaveh

O (\log n)

$O(\log n)$

n

$n$

đây là một vấn đề phụ, như tôi đã nói tôi muốn tìm hiểu thêm về loại phức tạp giao tiếp mà tôi đã mô tả trong câu hỏi và cố tình tránh liên kết nó với độ phức tạp và nội suy bằng chứng. Không có gì liên quan đến độ phức tạp chứng minh trong tuyên bố câu hỏi của tôi.

— Kaveh

k > 2

$k>2$