Các vấn đề tính toán hữu hạn vô cùng lớn nhưng cục bộ

Câu hỏi này được lấy cảm hứng từ một bình luận Jukka Suomela đưa ra cho một câu hỏi khác .

Các ví dụ về các vấn đề tính toán hữu hạn lớn nhưng vô hạn cục bộ (và thuật toán) là gì?

Nói cách khác, các ví dụ về tính toán tạm dừng trong thời gian hữu hạn, trong đó mỗi máy Turing chỉ đọc và xử lý dữ liệu hữu hạn, nhưng hoàn toàn tính toán giải quyết vấn đề kích thước vô hạn nếu có vô số - nhiều máy Turing nối mạng với nhau?

Chỉ cần đưa ra một số ý tưởng về những gì có thể (nhưng hơi không tầm thường), đây là một ví dụ: một thuật toán phân tán tìm thấy một đóng gói cạnh tối đa trên biểu đồ mức giới hạn.

Định nghĩa vấn đề

Cho một đồ thị vô hướng đơn giản , cách đóng gói cạnh (hoặc khớp phân số) liên kết trọng số với mỗi cạnh sao cho mỗi nút , tổng trọng số của các cạnh sự cố đến nhiều nhất là . Một nút được bão hòa nếu tổng trọng lượng của các cạnh sự cố bằng . Đóng gói cạnh là tối đa nếu tất cả các cạnh có ít nhất một điểm cuối bão hòa (nghĩa là không có trọng số nào có thể được mở rộng một cách tham lam).w ( e ) e ∈ E v ∈ V v 1 $G = (V,E)$$w(e)$$e \in E$$v \in V$$v$$1$$1$

Quan sát rằng kết hợp tối đa xác định cách đóng gói cạnh tối đa (đặt iff ); do đó rất dễ giải quyết trong một thiết lập tập trung cổ điển (giả sử là hữu hạn).w ( e ) = 1 e ∈ M $M \subseteq E$$w(e) = 1$$e \in M$$G$

Các gói cạnh thực sự có một số ứng dụng, ít nhất là nếu một định nghĩa một ứng dụng theo nghĩa TCS thông thường: tập hợp các nút bão hòa tạo thành một xấp xỉ lần của một nắp đỉnh tối thiểu (tất nhiên điều này chỉ có ý nghĩa trong trường hợp hữu hạn ) .$2$$G$

Mô hình tính toán

Chúng tôi sẽ giả định rằng có một hằng số toàn cầu sao cho mức độ của bất kỳ nhiều nhất là .v ∈ V $\Delta$$v \in V$$\Delta$

Để giữ điều này gần với tinh thần của câu hỏi ban đầu, chúng ta hãy định nghĩa mô hình tính toán như sau. Chúng tôi giả sử rằng mỗi nút là một máy Turing và cạnh là kênh liên lạc giữa và . Băng đầu vào của mã hóa độ của . Đối với mỗi , các sự cố cạnh của được dán nhãn (theo thứ tự tùy ý) với các số nguyên ; chúng được gọi là nhãn cạnh cục bộ (nhãn của có thể khác nhau đối với và{ u , v } ∈ E u v v ° ( v ) v v ∈ V v 1 , 2 , ... , DEG ( v ) { u , v } ∈ E u $v \in V$$\{u,v\} \in E$$u$$v$$v$$\deg(v)$$v$$v \in V$$v$$1,2,\dotsc,\deg(v)$$\{u,v\} \in E$$u$$v$). Máy có các hướng dẫn để có thể gửi và nhận tin nhắn qua từng cạnh này; một máy có thể giải quyết hàng xóm của nó bằng cách sử dụng nhãn cạnh cục bộ.

Chúng tôi yêu cầu các máy tính một cạnh có giá trị bao bì cho . Chính xác hơn, mỗi phải in trên băng đầu ra của nó một mã hóa cho mỗi sự cố cạnh thành , được đặt hàng bởi các nhãn cạnh cục bộ, sau đó tạm dừng.G v ∈ V w ( e ) e $w$$G$$v \in V$$w(e)$$e$$v$

Chúng tôi nói rằng thuật toán phân tán tìm thấy việc đóng gói cạnh tối đa trong thời gian , nếu sau đây giữ cho bất kỳ biểu đồ có độ lớn tối đa và cho bất kỳ nhãn cạnh cục bộ nào của : nếu chúng tôi thay thế mỗi nút của bằng một bản sao giống hệt của máy Turing và khởi động máy, sau đó sau các bước tất cả các máy đã in một giải pháp hợp lệ (nhất quán toàn cầu) và tạm dừng.T G Δ G G A $A$$T$$G$$\Delta$$G$$G$$A$$T$

Vô cực

Bây giờ tất cả những điều trên có ý nghĩa hoàn hảo ngay cả khi tập hợp các nút là vô hạn.$V$

Công thức bài toán và mô hình tính toán không có bất kỳ tài liệu tham khảo nào về, trực tiếp hay gián tiếp. Độ dài của đầu vào cho mỗi máy Turing được giới hạn bởi một hằng số.$|V|$

Những gì được biết

Vấn đề có thể được giải quyết trong thời gian hữu hạn ngay cả khi là vô hạn.$G$

Vấn đề là không tầm thường theo nghĩa là một số giao tiếp là cần thiết. Hơn nữa, thời gian chạy phụ thuộc vào . Tuy nhiên, đối với mọi trường hợp cố định , vấn đề có thể được giải quyết trong thời gian không đổi bất kể kích thước của ; đặc biệt, vấn đề có thể giải quyết được trên các biểu đồ lớn vô hạn.delta $\Delta$$\Delta$$G$

Tôi chưa kiểm tra thời gian chạy được biết đến nhiều nhất trong mô hình được xác định ở trên (đây không phải là mô hình thông thường được sử dụng trong trường). Tuy nhiên, thời gian chạy là đa thức trong nên khá dễ dàng để đạt được và tôi nghĩ rằng thời gian chạy là tuyến tính trong là không thể.$\Delta$$\Delta$

Tìm kiếm thế hệ tiếp theo của Máy tự động di động .

Điều này có thể được giải quyết như bạn mô tả trong thời gian liên tục. $\;$ (nghĩa là độc lập với đầu vào)

Về cơ bản, mọi vấn đề ít nhất là khó như tô màu đều yêu cầu một thuật toán có thời gian chạy phụ thuộc vào số lượng nút trong mạng và do đó không thể hoạt động trong một biểu đồ hữu hạn vô hạn nhưng cục bộ. Điều này theo sau nhật ký tinh dịch của Linial * n ràng buộc thấp hơn.

$AC^0$$AC^0$