Các ứng dụng lý thuyết cho các thuật toán gần đúng

Gần đây tôi đã bắt đầu xem xét các thuật toán gần đúng cho các vấn đề NP-hard và tôi đã tự hỏi về lý do lý thuyết để nghiên cứu chúng. (Câu hỏi không có nghĩa là bị viêm - Tôi chỉ tò mò).

Một số lý thuyết thực sự đẹp đã ra đời từ nghiên cứu các thuật toán gần đúng - mối liên hệ giữa định lý PCP và độ cứng của xấp xỉ, phỏng đoán UGC, thuật toán xấp xỉ Goeman-Williamson, v.v.

Mặc dù tôi đã tự hỏi về điểm nghiên cứu các thuật toán gần đúng cho các vấn đề như Nhân viên bán hàng du lịch, Nhân viên bán hàng du lịch không đối xứng và các biến thể khác, các vấn đề khác nhau trong thiết kế cơ chế (ví dụ như trong đấu giá kết hợp), v.v. trong quá khứ hay họ được nghiên cứu hoàn toàn vì lợi ích của riêng họ?

Lưu ý: Tôi không hỏi về bất kỳ ứng dụng thực tế nào theo như tôi biết, trong thế giới thực, chủ yếu là các heuristic được áp dụng thay vì các thuật toán gần đúng và các heuristic hiếm khi được thông báo bởi bất kỳ cái nhìn sâu sắc nào có được bằng cách nghiên cứu các thuật toán gần đúng cho vấn đề.

Tôi hoàn toàn không đồng ý với đoạn cuối. Báo cáo chăn như thế là không hữu ích. Nếu bạn nhìn vào các bài báo trong nhiều lĩnh vực hệ thống như mạng, cơ sở dữ liệu, AI, v.v. bạn sẽ thấy rằng có rất nhiều thuật toán gần đúng được sử dụng trong thực tế. Có một số vấn đề mà một người mong muốn câu trả lời rất chính xác; ví dụ như một hãng hàng không thú vị trong việc tối ưu hóa lịch trình đội bay của mình. Trong những trường hợp như vậy, người ta sử dụng các phương pháp phỏng đoán khác nhau, mất nhiều thời gian tính toán nhưng có kết quả tốt hơn thuật toán xấp xỉ chung có thể mang lại.

Bây giờ cho một số lý do lý thuyết cho việc nghiên cứu các thuật toán gần đúng. Đầu tiên, điều gì giải thích cho thực tế rằng ba lô rất dễ thực hành trong khi tô màu đồ thị khá khó? Cả hai đều là NP-Hard và đa thời gian có thể giảm cho nhau. Thứ hai, bằng cách nghiên cứu các thuật toán gần đúng cho các trường hợp đặc biệt của một vấn đề, người ta có thể xác định chính xác các lớp của các trường hợp có thể là dễ hay khó. Ví dụ, chúng ta biết rằng nhiều vấn đề thừa nhận PTAS trong các đồ thị phẳng và không có phụ trong khi chúng khó hơn nhiều trong các đồ thị chung tùy ý. Ý tưởng gần đúng tràn ngập thiết kế thuật toán hiện đại. Ví dụ, mọi người sử dụng thuật toán truyền dữ liệu và không có ống kính gần đúng là khó hiểu / thuật toán thiết kế vì ngay cả các vấn đề đơn giản cũng không thể được giải quyết chính xác.

$S_2^p \subseteq ZPP^{NP}$

Tôi cũng không đồng ý với "ghi chú", ít nhất là được nêu trong tổng quát này. Liên quan đến vấn đề này, có ai biết liệu cuộc nói chuyện về giải thưởng Kanellakis của David Johnson có ở đâu đó không?

Ngoài ra, một khi chúng tôi nhận ra rằng tất cả các vấn đề NP-hard đều tương đương với độ phức tạp trong trường hợp xấu nhất của các giải pháp chính xác, sẽ rất tự nhiên khi hỏi về sự phức tạp của việc tìm giải pháp gần đúng. Và Chandra đưa ra một quan điểm tuyệt vời về sự thay đổi quan điểm mà các thuật toán gần đúng mang lại cho thiết kế thuật toán.

$O(\log n)$

Các heuristic tốt nhất là các thuật toán gần đúng. Các thuật toán xấp xỉ đẹp nhất chỉ là các heuristic "ngu ngốc" hoạt động. Ví dụ: tìm kiếm cục bộ để phân cụm, phân cụm tham lam (Gonzalez), một cho giá của hai, các thuật toán tham lam khác nhau, v.v., v.v.

Vì vậy, nghiên cứu các thuật toán xấp xỉ thực sự là về việc hiểu những gì heuristic được đảm bảo các thuật toán gần đúng. Hy vọng là nghiên cứu về các thuật toán gần đúng tạo ra hai loại thụ tinh chéo:

• Chuyển các ý tưởng hoạt động từ heuristic sang các công cụ thiết kế thuật toán. Tương tự, chuyển ý tưởng từ thiết kế thuật toán sang phương pháp phỏng đoán / thuật toán hoạt động tốt trong thực tế.
• thụ tinh chéo giữa một người vừa tốt nghiệp và một vị trí.

Nói tóm lại, thế giới không chính xác, đầu vào không chính xác, các hàm mục tiêu được tối ưu hóa bởi các vấn đề thuật toán khác nhau là không chính xác và tốt nhất đại diện cho một xấp xỉ mờ với những gì người ta muốn, và tính toán không chính xác. Tại sao mọi người sẽ học các thuật toán chính xác? (Trả lời: Bởi vì các thuật toán chính xác chỉ là các thuật toán xấp xỉ thực sự tốt.)

Trong thế giới thực, có rất ít thuật toán chính xác - bạn cần sử dụng xấp xỉ để có liên quan từ xa ...

Xử lý các vấn đề với các biến liên tục là rất khó chịu với các thuật toán chính xác. Ví dụ, việc xác định trọng số cạnh của một cá thể TSP có nghĩa là gì với các số thực chính xác?

Khi chúng tôi cho phép các thuật toán FPTAS cho các vấn đề này, chúng tôi có thể định lượng các tham số này cho các số nguyên. Điều này làm cho vấn đề được xử lý tốt hơn nhiều (có thể sử dụng máy Turing tiêu chuẩn), nhưng phát sinh một lỗi nhỏ.