Thuật toán hiệu quả nhất để quyết định xem một phần tử có ít nhất trong quỹ đạo của nó là gì không?

Cho một nhóm hoạt động trên tập với tổng thứ tự và , thuật toán hiệu quả nhất để quyết định xem x có phải là phần tử nhỏ nhất trong quỹ đạo của nó hay nói cách khác là quyết định nếu ? $G$ $X$ $\leq$ $x\in X$ $min(Gx) = x$

Động lực của tôi đến từ việc giải quyết SMT, nơi đã có một số quan tâm trong việc tự động phá vỡ các đối xứng. Việc thêm các biến vị ngữ phá vỡ đối xứng thường dẫn đến một mệnh đề lớn do đó tôi quan tâm đến khả năng xử lý điều này như một sự truyền bá lý thuyết lười biếng.

Mô tả ở trên có lẽ quá chung chung và được ghi nhận bởi sid , NP-hard. Một nhiệm vụ đơn giản hơn có thể là, đưa ra một nhóm các hoán vị của các chuỗi có độ dài được mã hóa thành một tập hợp các bộ tạo và một chuỗi có độ dài . Thuật toán hiệu quả nhất để quyết định xem chuỗi đó có phải là từ vựng nhỏ nhất trong quỹ đạo của nó không? $n$ $x$ $n$

ds.algorithms gr.group-theory

— HaskellElephant
nguồn

Tôi đoán bạn đang nói về bộ X hữu hạn? Tôi nghĩ rằng quyết định này là NP-hard. Đặt là chuyến tham quan một tập hợp các thành phố trong vấn đề Nhân viên bán hàng du lịch với . Đặt nhóm là nhóm đối xứng . Sau đó, quỹ đạo là tất cả các tour du lịch có thể và chứng minh rằng một trong số chúng là tối thiểu là NP-hard.

X = {c_{1}, \dots, c_{n}}

$X=\{c_1,\dots,c_n\}$

c_{1} \to c_{2} \dots

$c_1 \rightarrow c_2 \dots$

G

$G$

S_{n}

$S_n$

— Chọn

@Sid, vâng, tôi chỉ quan tâm đến trường hợp X là hữu hạn, và tôi đã không nghĩ về nó nhưng nó chắc chắn là NP-hard. Tôi đoán có thể vẫn có khả năng thuật toán monte carlo hiệu quả.

— HaskellElephant

Mặc dù nếu bạn sử dụng một tiêu chí khác nhau ở mức tối thiểu, thì đó là đa thức ở đây: thật dễ dàng để tìm thấy chuyến tham quan nhỏ nhất về mặt từ vựng (ít nhất là nếu bạn giả sử tất cả các cạnh có nhãn khác nhau, nếu không, nó vẫn cứng NP).

— Peter Shor

@PeterShor, vâng, trên thực tế cho mục đích của tôi, bất kỳ hình thức kinh điển nào cũng được.

— HaskellElephant

Nếu và được trình bày như thầy mo giá trị, điều này đòi hỏi liệt kê .

G

$G$

X

$X$

G

$G$

— David Harris

Đối với các mối quan hệ tương đương chung, không phải các mối quan hệ phát sinh từ các hành động nhóm hoán vị, thậm chí việc tìm kiếm từ vựng ít nhất vẫn là "quá" chung chung. Tìm phần tử nhỏ nhất về mặt từ vựng trong một lớp tương đương có thể là -hard (trên thực tế, -hard) - ngay cả khi mối quan hệ có dạng chính tắc thời gian đa thức [1]. $NP$ $P^{NP}$

Tuy nhiên, đối với các vấn đề quỹ đạo của nhóm hoán vị như bạn mô tả, việc quyết định xem hai điểm có nằm trong cùng một quỹ đạo không có khả năng là -hard hay không: đó là trong , và do đó không phải là trừ khi hệ thống phân cấp đa thức sụp đổ với Cấp độ thứ hai. $NP$ $NP \cap coAM$ $NP$

Một dạng chính tắc cho đẳng cấu đồ thị cũng là một trường hợp đặc biệt của vấn đề thứ hai mà bạn nêu. Dạng chính tắc được biết đến nhiều nhất cho đẳng cấu đồ thị chạy trong thời gian [2]. $2^{\tilde{O}(\sqrt{n})}$

Vì bạn đã nói trong các ý kiến rằng bất kỳ hình thức kinh điển nào cũng sẽ làm được, bạn cũng có thể quan tâm đến bài viết của tôi với Lance Fortnow [3]: về tính tổng quát hiện tại của nó, tôi nghĩ rằng câu hỏi của bạn có liên quan đến kết quả của chúng tôi. Chúng tôi thấy rằng nếu mỗi tương đương liên quan decidable trong có một hình thức kinh điển trong , sau đó "xấu" hậu quả dẫn, chẳng hạn như , mà đặc biệt là ngụ ý rằng các hệ thống cấp bậc đa thức sụp đổ xuống . Mặt khác, các mối quan hệ tương đương mà bạn quan tâm có thể không có trong $P$ $P$ $NP = UP = RP$ $BPP$ $P$ , nhưng kết quả này cho thấy rằng ngay cả khi nó nằm trong một lớp phức tạp cao hơn, các vấn đề khó khăn khác vẫn có thể cản trở bạn.

Vì vậy, tôi nghĩ rằng nếu bạn muốn một số giới hạn trên tốt hơn, bạn thực sự cần vấn đề để được cụ thể hơn.

[1] Andreas Blass và Yuri Gurevich. Quan hệ tương đương, bất biến, và các hình thức bình thường . SIAM J. Tính toán. 13: 4 (1984), 24-42.

[2] László Babai và Eugene M. Luks. Nhãn hiệu Canonical của đồ thị . STOC 1983, 171-183.

[3] Lance Fortnow và Joshua A. Grochow. Các lớp phức tạp của các vấn đề tương đương được xem xét lại . Thông báo. và tính toán. 209: 4 (2011), 748-763. Cũng có sẵn dưới dạng arXiv: 0907.4775v2 .

— Joshua Grochow
nguồn

GI trong poly time có ngụ ý

trong bài báo của bạn không? Điều gì sẽ ngụ ý một kết quả như vậy (bất kỳ vấn đề hoàn chỉnh) và những gì sẽ tách ra?

P E q = C F

$PEq=CF$

— T ....

Không xa như tôi biết. Tốt nhất là nó có nghĩa là bất kỳ vấn đề nào của đẳng cấu tổ hợp là ở Ker (FP); một vấn đề là một hình thức chính tắc cho biểu đồ không cần phải mang lại một hình thức chính tắc cho cấu trúc bạn đã bắt đầu; vấn đề khác là sự đẳng cấu tổ hợp không nhất thiết phải hoàn thành PEq. Chúng tôi hỏi liệu có vấn đề hoàn thành PEq không; Finkelstein và Hescott cho thấy các vấn đề hoàn thành CEq đối với C cao hơn ở PH, nhưng vẫn bỏ ngỏ câu hỏi về sự tồn tại của vấn đề hoàn thành PEq.

— Joshua Grochow 7/12/2015

có thể là sự tồn tại của một vấn đề hoàn chỉnh trong PEq có nghĩa là PH sụp đổ ở một mức độ nào đó không?

— T ....

@Turbo: Chắc chắn rồi, mặc dù có vẻ hơi khó với tôi. Bạn có biết bất kỳ ví dụ nào mà sự tồn tại của một vấn đề hoàn chỉnh đối với một số lớp ngụ ý PH sụp đổ không? (Khác với các vấn đề hoàn thành PH.) Tôi nghĩ rằng có khả năng (a) các vấn đề hoàn thành PEq tồn tại (và không mâu thuẫn với các phỏng đoán chính), chúng tôi chưa tìm ra cách xây dựng chúng, hoặc (b) ở đó là những nhà tiên tri đi cả hai chiều về sự tồn tại của các vấn đề hoàn thành PEq. (b) dường như nhiều khả năng đối với tôi - bằng cách tương tự với BPP - bởi vì PEq về cơ bản là một lớp ngữ nghĩa.

— Joshua Grochow