Biểu đồ Voronoi trong đồ thị

Cho là đồ thị có các cạnh có trọng số (dương). Tôi muốn xác định sơ đồ Voronoi cho một tập hợp các nút / trang , để liên kết với một nút biểu đồ con của tạo bởi tất cả các nút gần với hơn bất kỳ nút nào khác trong , đo chiều dài của một đường bằng tổng trọng số trên các cung. làvùng Voronoicủa . Ví dụ: các nút màu xanh lá cây bên dưới nằm trong $G$ $S$ $v \in S$ $R(v)$ $G$ $v$ $S$ $R(v)$ $v$ $R(v_1)$ và các nút màu vàng nằm trong . Tôi muốn hiểu cấu trúc của sơ đồ Voronoi. Khi bắt đầu, sơ đồ của hai trang web và trông như thế nào, nghĩa là, bisector 2 trang web trông như thế nào (màu xanh trong ví dụ trên)? Tôi nghĩ rằng các phân giác như phần bù của trong . Đây là hai câu hỏi cụ thể: $R(v_2)$
nhập mô tả hình ảnh ở đây
$v_1$ $v_2$ $B(v_1,v_2)$ $R(v_1) \cup R(v_2)$ $G$

Q1. Là bisector của hai trang web được kết nối trong một số ý nghĩa?

Quý 2 Là lồi theo nghĩa là nó chứa đường đi ngắn nhất giữa hai nút bất kỳ trong ? $R(v)$ $R(v)$

Chắc chắn điều này đã được nghiên cứu trước đây. Bất cứ ai có thể cung cấp tài liệu tham khảo / con trỏ? Cảm ơn!

Phụ lục cho nhận xét của Suresh:
nhập mô tả hình ảnh ở đây

reference-request graph-theory cg.comp-geom

— Joseph O'Rourke
nguồn

Đối với Q1 có ý nghĩa bạn cần một số ý nghĩa của khuôn mặt, phải không? Mặt khác, bisector "thực" nằm ở giữa các cạnh và giới thiệu các đỉnh ngay trước và sau điểm này, đảm bảo rằng bisector bị ngắt kết nối. Có lẽ nếu bạn giả sử đồ thị là hợp âm, bạn có thể chứng minh điều gì đó. Đối với Q2: điều này là sai ngay cả đối với trắc địa trong một đa giác có lỗ (hoặc địa hình). Tôi đoán là bạn cần phải giả sử một cái gì đó khá mạnh trên biểu đồ để có được câu trả lời không tầm thường cho cả hai câu hỏi.

— Sariel Har-Peled

Cảm ơn, Sariel, cho những quan sát. Vâng, có vẻ như tôi đã hy vọng quá nhiều, và có lẽ chỉ trong các lớp biểu đồ đặc biệt mới có các thuộc tính cấu trúc đẹp.

— Joseph O'Rourke

ah vì vậy trên quả cầu thông thường, một tế bào voronoi không thể lớn hơn một bán cầu, vì vậy bạn không gặp phải vấn đề này. Nhưng nhận xét của tôi nói chung giống như của Sariel ở chỗ bạn đang yêu cầu sự lồi lõm của các tế bào voronoi trong một đa tạp riemannian có khả năng chung và điều đó không đúng.

— Suresh Venkat

S

$S$

S

$S$

K_{2, n}

$K_{2, n}$

Vì vậy, bây giờ tôi đang nghĩ có lẽ có một câu hỏi thú vị ở đây. Điều gì xảy ra nếu số liệu cơ bản là một đa tạp (như được đề xuất bởi Suresh). Bây giờ, chúng tôi kết nối hai điểm nếu và chỉ khi tồn tại điểm thứ ba q, hai điểm còn lại là hai điểm lân cận gần nhất (nghĩ về điều này như một loại phức tạp nhân chứng). Một phỏng đoán tự nhiên sẽ là nếu đa tạp nhân đôi, thì người ta luôn có thể thêm các điểm O (1) sao cho bisector được kết nối. Hmmm ...

— Sariel Har-Peled

Mehlhorn, K.: Một thuật toán xấp xỉ nhanh hơn cho bài toán Steiner trong đồ thị. Thư xử lý thông tin 27, 125 mộc128 (1988)

Erwig, M.: Biểu đồ Voronoi với các ứng dụng. Mạng 36 (3), 156 Từ163 (2000)

cả hai tài liệu tham khảo được sao chép từ

Matthew T. Dickerson, Michael T. Goodrich, Thomas D. Dickerson, Ying Daisy Zhuo: Biểu đồ Voronoi khứ hồi và Mật độ nhân đôi trong Mạng lưới địa lý. Giao dịch trên Khoa học tính toán 14: 211-238 (2011)

— David Eppstein
nguồn

Điều này sẽ mất một số đào, nhưng bề ngoài, có vẻ như không có nhiều thuộc tính cấu trúc của sơ đồ đã được xác định trong các bài viết này (có lẽ vì có ít thuộc tính cần lưu ý!).

— Joseph O'Rourke

thực sự không có nhiều điều được biết đến; chúng tôi có một hoặc hai bổ đề khác trong sommer.jp/voronoi.htm

— Christian Sommer