Các thuật toán xấp xỉ thời gian siêu đa thức cho MAX 3SAT

Định lý PCP nói rằng không có thuật toán thời gian đa thức cho MAX 3SAT để tìm một phép gán thỏa mãn các mệnh đề 7/8 của công thức 3SAT thỏa đáng trừ khi .P = N $7/8+ \epsilon$$P = NP$

Có một thuật toán thời gian đa thức tầm thường thỏa mãn mệnh đề. Vì vậy, chúng ta có thể làm tốt hơn nếu chúng ta cho phép các thuật toán siêu đa thức không? Những tỷ lệ gần đúng nào chúng ta có thể đạt được với các thuật toán thời gian đa thức ( ) hoặc với các thuật toán thời gian theo cấp số mũ ( )? Tôi đang tìm kiếm tài liệu tham khảo cho bất kỳ thuật toán như vậy.7 / 8 + ε n O ( log n ) 2 o ( n $7/8$$7/8+ \epsilon$$n^{O(\log n)}$$2^{o(n)}$

Người ta có thể nhận được xấp xỉ 7/8 cho MAX3SAT chạy trong thời gian mà không gặp quá nhiều khó khăn. Đây là ý tưởng. Chia tập hợp các biến thành các nhóm của mỗi biến. Đối với mỗi nhóm, hãy thử tất cả để gán các biến trong nhóm. Đối với mỗi công thức rút gọn, hãy chạy phép tính xấp xỉ Karloff và Zwick . Đưa ra bài tập thỏa mãn một số mệnh đề tối đa, trong số tất cả các thử nghiệm này.2 O ( ε n ) O ( 1 / ε ) ε n 2 ε n 7 /$7/8+\varepsilon/8$$2^{O(\varepsilon n)}$$O(1/\varepsilon)$$\varepsilon n$$2^{\varepsilon n}$$7/8$

Vấn đề là có một số khối biến sao cho phép gán tối ưu (bị giới hạn trong khối đó) đã thỏa mãn một -fraction số lượng mệnh đề thỏa mãn tối đa. Bạn sẽ nhận được các mệnh đề bổ sung chính xác và bạn sẽ nhận được phần còn lại của mức tối ưu khi sử dụng Karloff và Zwick.7 /$\varepsilon$$7/8$

Đó là một câu hỏi thú vị nếu một người có thể nhận được cho cùng một loại xấp xỉ. Có một "Giả thuyết PCP tuyến tính" rằng 3SAT có thể được giảm trong thời gian đa thức xuống MAX3SAT, như sau:$2^{O(\varepsilon^2 n)}$

• nếu phiên bản 3SAT thỏa đáng thì phiên bản MAX3SAT hoàn toàn thỏa đáng,
• nếu phiên bản 3SAT không thỏa mãn thì phiên bản MAX3SAT không phải là thỏa đáng và$7/8+\varepsilon$
• việc giảm làm tăng kích thước công thức chỉ bằng một yếu tố .$poly(1/\varepsilon)$

Giả sử này tuyến tính PCP Conjecture, một -time xấp xỉ, cho tất cả và , sẽ đòi hỏi rằng 3SAT là trong thời gian, cho tất cả . (Ở đây là số mệnh đề.) Bằng chứng sử dụng Bổ đề Sparsifying của Impagliazzo, Paturi và Zane. 7 / 8 + ε c ε 2 ε n ε $2^{O(\varepsilon^c m)}$$7/8+\varepsilon$$c$$\varepsilon$$2^{\varepsilon n}$$\varepsilon$$m$

Để phần nào khôi phục lại những gì Ryan Williams đã viết trong đoạn cuối của mình:

Định lý Moshkovitz-Raz cho thấy có một hàm sao cho nếu Max-3Sat có thể là ước tính trong thời gian thì phiên bản quyết định của 3Sat là trong thời gian . Người ta thường tin rằng cái sau là không thể (đây là Giả thuyết Thời gian theo cấp số nhân), trong trường hợp cái trước là không thể. Nói một cách không chính xác, bạn không thể đánh bại cho Max-3Sat trong bất cứ điều gì tốt hơn thời gian theo cấp số nhân. ( 7 / 8 + 1 / ( log log n ) 0,000001 ) T ( n ) 2 o ( n ) 7 /$T(n) = 2^{n^{1-o(1)}}$$(7/8 + 1/(\log \log n)^{.000001})$$T(n)$$2^{o(n)}$$7/8$