Giới hạn về các khoảnh khắc tần số xấp xỉ

Hãy để là một chuỗi các số nguyên trong đó mỗi một j ∈ { 1 , 2 , ... , n } . Với i ∈ { 1 , 2 , Hoài , n } , hãy để m i = | { j : a j = i } | . Các k thứ thời điểm tần số được định nghĩa là$a_1, a_2,\dotsc, a_m$$a_j \in \{1,2,\dotsc,n\}$$i \in \{1,2,\dotsc,n\}$$m_i = |\{j : a_j = i\}|$$k$

$\displaystyle F_k = \sum_{i=1}^n m_i^k.$

Trong bài báo nổi tiếng của họ, Độ phức tạp không gian của xấp xỉ các khoảnh khắc tần số , Alon et al. đưa ra thuật toán phát gần đúng bằng cách sử dụng khoảng O ( n 1 - $F_k$không gian. Họ cũng sử dụng các kỹ thuật phức tạp liên lạc để có được một giới hạn thấp hơn củaΩ(n1-$O(n^{1-\frac{1}{k}}(\log n + \log m))$vớik>5. Đối vớik=0,1,2, chúng cung cấp ít nhiều khớp giới hạn trên và dưới.$\Omega(n^{1-\frac{5}{k}})$$k > 5$$k = 0,1,2$

Đã có những cải tiến cho các giới hạn này kể từ đó và đã có tiến bộ cho chưa?$k = 3,4,5$

Có một chút tiến bộ. Về bài toán cụ thể của , có giới hạn khớp trên và dưới của n 1 - 2 / k với k > 2 . Giới hạn trên xuất phát từ bài báo này của Indyk và Woodruff (xuất hiện trong STOC 2005) và giới hạn dưới thông qua khung phức tạp thông tin, do Bar-Yossef et al và Chakrabarti et al .$F_k$$n^{1-2/k}$$k > 2$

Với k <= 2

1) k = 0, giới hạn là từ http://people.seas.harvard.edu/~minilek/ con / f0.pdf .$O(1/\epsilon^2+log(n))$

2) k = 1, Bài báo của Alon et đều đưa ra một tham chiếu đến bài viết của Morris, trong đó có không gian .$\tilde{O}(log(log(n))$

3) k = 2, tôi nghĩ rằng bản phác thảo AMS từ bài báo của họ là tối ưu

Một cái gì đó liên quan.

$F_\alpha$$\alpha$$\epsilon$$n$