Có một điều như là một đồng hình yếu than?

Với một endofunctor $F : Set \rightarrow Set$ , chúng ta có thể xác định các chức năng quan sát như chức năng mà là đa hình cho bất kỳ $F$ -coalgebra, đó là $obs$ được định nghĩa cho bất kỳ $F$ -coalgebra $\langle A, c : A \rightarrow FA\rangle$ .

$$obs : \forall \langle A, c \rangle . A \to B$$ Một cách khác để xem các chức năng quan sát là các chức năng của trận chung kết$F$ thangebranếu nó tồn tại. Chúng ta có được tính đa hình một cách tự động bằng cách kết hợp chức năng quan sát với phép đồng hình duy nhất với ký tự cuối cùng$F$. Nhưng điều này chỉ hoạt động nếutồn tại$F$ thangcuối cùng.

Một trong những đặc điểm xác định của một chức năng quan sát là nó hủy bỏ bất kỳ sự đồng hình hóa đại số nào được cấu thành ở bên phải, do tính đa hình của nó. Nếu $hom$ là một phép đồng hình $F$ thangebra, thì:

$$obs = obs \circ hom$$ Trong quá trình nghiên cứu của tôi, trong một nỗ lực để xác định một khái niệm về tính nhất quán quan sát giữa một con than và một con khác, tôi đã có ý tưởng về một yếu đồng hình than yếu. Ý tưởng là chúng ta có thể "giả mạo" một sự đồng hình của đại số than nếu chúng ta biết chức năng quan sát trước thời hạn. Vì vậy, chúng tôi có thể đáp ứng, nhưng chỉ cho một cụ thể o b s . $$obs = obs \circ hom$$ $obs$

Ví dụ, chúng ta hãy , và để o b s được định nghĩa là o b s : ∀ ⟨ Một , c ⟩ . A → { 0 , 1 } 2 o b $FX = \{0,1\} \times X$$obs$

$$obs : \forall \langle A, c\rangle. A \to \{0,1\}^2$$ Đó là, o b s mất hai yếu tố đầu tiên của một dòng suối. $$obs = \langle (\pi_1 \circ c), (\pi_1 \circ c \circ \pi_2 \circ c) \rangle$$ $obs$

Sau đó, một phép đồng hình F-thangebra sẽ cần phải đảm bảo rằng nó bảo toàn tất cả các phần tử của luồng, trong khi đó phép đồng hình yếu cho chỉ cần bảo toàn hai phần tử đầu tiên của luồng.$obs$

Trong nghiên cứu của tôi, khái niệm này sẽ hữu ích để chỉ ra rằng một đại số là phù hợp quan sát với nhau bằng cách chỉ ra rằng mọi hàm quan sát tuyến tính hữu hạn đều có sự đồng hình yếu từ than chì thứ nhất đến đại số thứ hai. Nói cách khác, mọi quan sát tuyến tính hữu hạn trên đại số thứ nhất có thể được sao chép trên đại số thứ hai.

(Ý tôi là chức năng quan sát tuyến tính cảm thấy hầu như không liên quan, nhưng vì mục đích chia sẻ ... Hàm quan sát tuyến tính ít nhiều chỉ sử dụng một trạng thái của sóng mang chỉ một lần. Tôi đang cố gắng mô hình hóa một lời tiên tri, và người dùng không được phép quay lại và giả vờ không bao giờ hỏi câu hỏi.)

Câu hỏi của tôi là như vậy:

1. Điều này đã được nghiên cứu? Có phải "đồng dạng yếu than đá" đã tồn tại, dưới một số tên khác có lẽ?

2. Có một cách "lý thuyết thể loại" hơn để trình bày này?

Chỉnh sửa : Đã xóa hai câu hỏi không quan trọng.

Các 'hình thái yếu' mà bạn mô tả có một tên trong một thiết lập hơi hạn chế. Chúng cũng có thể được định nghĩa khá chung chung, như tôi sẽ giải thích.

Trong trường hợp bảo tồn các pullback yếu (nhiều functor tự nhiên trên S e t do), người ta biết rằng sự tương đương hành vi trùng khớp với tính lưỡng tính của than. Sau đó morphisms của bạn được gọi là chức năng α bisimulations -step nơi $T : \mathsf{Set} \to \mathsf{Set}$$\mathsf{Set}$$\alpha$$\alpha$ là một thứ tự. Phải thừa nhận rằng tôi đã chỉ từng thấy họ định nghĩa cho ordinals $\alpha \leq \omega$. Trước khi học đại số, các nhà logic học phương thức đã nghiên cứu các phép chia hai bước cho các khung Kripke, tương đương với phép chia hai bước đối với các hàm than cho hàm functor. Yêu cầu của bạn rằng chúng là các chức năng trái ngược với các mối quan hệ làm cho chúng trở thành hai bước phân chia chức năng .

Mặt khác, bạn có thể định nghĩa khái niệm mà bạn đang nói đến trong một môi trường tổng quát hơn nhiều mà không cần đề cập đến các phép tính nhị phân. Đối với bất kỳ loại trong đó có giới hạn của cochains thứ tự-lập chỉ mục và bất kỳ functor T : C → C người ta có thể xác định T 's chuỗi thiết bị đầu cuối . Điều kiện liên quan đến các giới hạn thực sự khá yếu, ví dụ như nhiều danh mục (bao gồm cả S e t ) thực sự hoàn chỉnh tức là có tất cả các giới hạn nhỏ. Trình tự đầu cuối là một sơ đồ trong C và trông giống như:$\mathbb{C}$$T : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$$T$$\mathsf{Set}$$\mathbb{C}$

$1 \quad \xleftarrow{!_{T1}} \quad T1 \quad \xleftarrow{T !_{T1}} \quad T^2 1 \quad \xleftarrow{T^2 !_{T1}} \quad \dots \quad T^\omega 1 \quad \xleftarrow{f_\omega^{\omega + 1}} \quad T(T^\omega 1) \quad \xleftarrow{Tf_\omega^{\omega + 1}} \quad \dots$

Ở đây là đối tượng đầu cuối trong C (giới hạn của cochain trống). Ví dụ trong S e t này có thể được xem là một trong những yếu tố thiết lập 1 = { * } . Bản đồ ! T 1 : T 1 → 1 là cấu xạ độc đáo vào đối tượng ví dụ như thiết bị đầu cuối trong S e t chỉ đơn giản là đồ mọi phần tử của T 1 tới * . Mỗi T n 1 được tính bằng cách lặp lại T và T ω$1$$\mathbb{C}$$\mathsf{Set}$$1 = \{*\}$$!_{T1} : T1 \to 1$$\mathsf{Set}$$T1$$*$$T^n 1$$T$$T^\omega 1$là giới hạn của cochain trước nó. Sau đó người ta có thể tiếp tục vượt , nếu cần thiết. Trực giác T α 1 là tập hợp của $\omega$$T^\alpha 1$$\alpha$ hành vi bước .

Bây giờ bất kỳ -coalgebra ( Z , γ ) gây ra một hình nón trên này chuỗi tức là một bộ sưu tập của C -morphisms b e h α γ : Z → T alpha 1 cho mỗi thứ α . Tôi sẽ chỉ định nghĩa chúng cho α < $T$$(Z,\gamma)$$\mathbb{C}$$\mathsf{beh}_\gamma^\alpha : Z \to T^\alpha 1$$\alpha$$\alpha < \omega$ :

là bản đồ độc đáo vào đối tượng thiết bị đầu cuối.$\mathsf{beh}_\gamma^0 : Z \to 1$

$\mathsf{beh}_\gamma^{n+1} = T\mathsf{beh}_\gamma^n \circ \gamma : Z \to T^{n+1} 1$

Trực giác những tấm bản đồ gửi một trạng thái để nó α hành vi -step. Bây giờ chúng tôi có thể mô tả những gì bạn đang nói về. Giả sử chúng ta có hai T -coalgebras ( Một , γ ) và ( B , δ ) . Sau đó, một C -morphism f : A → B bảo tồn alpha hành vi -step iff:$Z$$\alpha$$T$$(A,\gamma)$$(B,\delta)$$\mathbb{C}$$f : A \to B$$\alpha$

$\mathsf{beh}_\delta^\alpha \circ f = \mathsf{beh}_\gamma^\alpha$

Đó là, hành vi -step của f ( z ) trong δ chính là α hành vi -step của z trong γ .$\alpha$$f(z)$$\delta$$\alpha$$z$$\gamma$

Dù sao, tôi hy vọng điều này là hữu ích. Bạn có thể tìm thấy các tài liệu tham khảo khác nhau bằng cách googling 'chuỗi ký tự đầu cuối' hoặc 'chuỗi ký tự cuối cùng'.

Theo quy định, người ta nên tránh các thuật ngữ quá tải nặng nề như yếu, thường xuyên, bình thường, vv trừ khi khái niệm này có một số tính phổ quát. Cụ thể, có vẻ như khái niệm của bạn không tương ứng với khái niệm thông thường về sự đồng hình yếu sau khi lật mũi tên.

Luôn luôn có nhiều thuật ngữ mô tả hơn bất cứ khi nào bạn làm một cái gì đó ít phổ quát hơn, chẳng hạn như "đồng cấu suy yếu quan sát" rút ngắn thành "ow-homomorphism" có lẽ.

Khái niệm của bạn về chức năng quan sát đã cung cấp một bài trình bày lý thuyết thể loại. Tôi lo lắng nhiều hơn về việc làm rõ chính xác ý nghĩa của nó, và tại sao nó thú vị, thay vì tìm kiếm sự tổng quát nhất có thể. Cụ thể, bạn thường nên đưa ra một ví dụ thông tin và không ví dụ khi đưa ra các khái niệm bất thường trong in ấn.