Các PCP tốt cho NP có cung cấp cho chúng tôi các PCP tốt cho toàn bộ hệ thống phân cấp đa thức không?

9

Định lý PCP nêu rõ rằng mọi vấn đề quyết định trong NP đều có bằng chứng có thể kiểm tra được về mặt xác suất (hoặc tương đương, rằng có tồn tại một hệ thống chứng minh hoàn chỉnh và gần đúng cho các định lý trong NP sử dụng độ phức tạp truy vấn liên tục và nhiều bit ngẫu nhiên theo logarit).

Trí tuệ dân gian của người dân xung quanh Định lý về PCP (bỏ qua một lúc tầm quan trọng của PCP đối với lý thuyết gần đúng) là điều này có nghĩa là bằng chứng được viết bằng ngôn ngữ toán học nghiêm ngặt có thể được kiểm tra một cách hiệu quả với bất kỳ mức độ chính xác mong muốn nào mà không cần phải đọc toàn bộ bằng chứng (hoặc nhiều bằng chứng ở tất cả).

Tôi không thể nhìn thấy điều này. Hãy xem xét phần mở rộng bậc hai cho logic mệnh đề với việc sử dụng các bộ lượng hóa không hạn chế (mà tôi được cho là đã yếu hơn ZFC, nhưng tôi không phải là người logic). Chúng ta đã có thể bắt đầu thể hiện các định lý mà NP không thể truy cập bằng cách định lượng xen kẽ.

Câu hỏi của tôi là liệu có một cách đơn giản, được biết đến là "không kiểm soát" các bộ lượng tử trong các câu lệnh đề xuất bậc cao hơn để các PCP cho các định lý trong NP áp dụng tốt như nhau cho bất kỳ mức độ PH nào. Có thể là điều này không thể thực hiện được - đó là việc không kiểm soát chi phí định lượng, trong trường hợp xấu nhất, một phần không đổi của âm thanh hoặc tính chính xác của hệ thống chứng minh của chúng tôi.

lo.logic pcp polynomial-hierarchy

— Ross Snider
nguồn

3

Σ_{2} \cap Π_{2}

$\Sigma_2 \cap \Pi_2$

Điều này nghe có vẻ hợp lý, nhưng tôi bối rối. Nếu điều này là đúng, liệu nó có đưa NP vào BPP không?

— Ross Snider

8

Σ_{2} \cap Π_{2}

$\Sigma_2 \cap \Pi_2$

Điều này sẽ không hoạt động. PH có khả năng chống lại các bổ đề liên quan. xem xét một cái gì đó như EXP ^ 2. Nó có thể xử lý RP, RNP, vv như một trò đùa. Bạn không đi lên thứ bậc đó một cách dễ dàng.

— Steve Uurtamo

6

Sự thật của một tuyên bố khác với việc nó có bằng chứng (ngắn) trong một hệ thống chứng minh. Ngôn ngữ là biểu cảm nhưng điều đó không có nghĩa là tất cả các tuyên bố hợp lệ trong ngôn ngữ đều có bằng chứng ngắn trong hệ thống.

$\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$

$n^{100}$ $n$ ".

— Kaveh
nguồn

6

Hãy để tôi cố gắng làm rõ.

Xem xét vấn đề tính toán sau: đưa ra một tuyên bố toán học (trong hệ tiên đề yêu thích của bạn) và một số n được đưa ra trong biểu diễn đơn nhất, quyết định xem tuyên bố đó có bằng chứng kích thước n hay không.

Đây là một vấn đề NP: đưa ra một bằng chứng, người ta có thể xác minh một cách hiệu quả rằng nó có kích thước n và đó là một bằng chứng hợp lệ của định lý. Lưu ý: ngay cả khi câu lệnh liên quan đến các bộ lượng hóa như FOR ALL, điều đó không có nghĩa là trình xác minh cần kiểm tra tất cả các khả năng, nó chỉ có nghĩa là trình xác minh sử dụng các quy tắc suy luận liên quan đến bộ định lượng FOR ALL.

Do đó, Định lý PCP áp dụng cho vấn đề này và do đó, có một định dạng bằng chứng (khác nhau) cho phép xác minh xác suất.

Một lưu ý khác (liên quan đến nhận xét của Peter): Trình xác minh PCP chỉ sử dụng tính ngẫu nhiên logarit. Điều này có nghĩa là nó có thể được thay thế bằng một trình xác minh tiêu chuẩn, xác định, xem xét toàn bộ bằng chứng. Đó là có một trình xác minh PCP cho một ngôn ngữ đặt nó trong NP.

— Dana Moshkovitz
nguồn