Kết nối đồ thị bằng cách loại bỏ cạnh và đỉnh

Hãy để chúng tôi nói rằng một đồ thị là kết nối nếu việc loại bỏ bất kỳ đỉnh và bất kỳ cạnh nào từ luôn luôn là một đồ thị được kết nối. Ví dụ, một đồ thị được kết nối , theo định nghĩa tiêu chuẩn, là kết nối, theo định nghĩa mới. Có một thuật toán đa thức thời gian để quyết định xem có kết nối không? Ở đây tôi cho rằng đầu vào là , và .$G$a b G k ( k - 1 , 0 ) G ( a , b ) G a $(a,b)$$a$$b$$G$$k$$(k-1,0)$$G$$(a,b)$$G$$a$$b$

Đây là phiên bản chỉnh sửa của "câu trả lời" trước đó đã tuyên bố không chính xác thuật toán thời gian đa thức cho vấn đề. Những gì tôi viết dưới đây là một kết nối đến một vấn đề hiện có cho thấy vấn đề này là khó khăn.

Đặt là hai nút trong G và chúng tôi muốn kiểm tra xem chúng có ( a , b ) được kết nối hay không. Đó là loại bỏ bất kỳ một nút và bất kỳ b cạnh không nên ngắt kết nối s và t . Một cách khác để xem xét nó như sau: số nút tối thiểu mà chúng ta cần loại bỏ là bao nhiêu để giảm kết nối cạnh giữa s và t đến $s,t$$G$$(a,b)$$a$$b$$s$$t$$s$$t$$b$? Những loại vấn đề này đã được nghiên cứu dưới tên cắt đa tuyến và chúng là dòng chảy kép đến đa tuyến. Các kết quả gần đúng khác nhau đã được hiển thị mặc dù nhiều vấn đề cơ bản chưa được giải quyết. Một kết quả quan tâm là như sau. Giả sử mỗi cạnh có chi phí và chúng tôi muốn loại bỏ tập hợp các cạnh có chi phí tối thiểu để giảm kết nối cạnh giữa s và t xuống b ; thì vấn đề này là NP-Hard khi b là một phần của đầu vào. Kết quả này nằm trong bài báo của Barman và Chawla: http://arxiv.org/abs/0908.0350$c(e)$$s$$t$$b$$b$

Hai bài báo sẽ xuất hiện trong SODA 2012 sắp tới là về việc cắt giảm nhiều tuyến đường có kết quả tiếp theo về chủ đề này. Một bởi Chuzhoy etal có kết quả độ cứng cho một số biến thể.