Các tam giác Delaunay trên quả cầu có tối đa hóa góc tối thiểu không?

Tam giác Delaunay trong mặt phẳng tối đa hóa góc tối thiểu trong một tam giác. Điều tương tự có đúng với tam giác Delaunay của các điểm trên quả cầu không? (ở đây "góc" là góc cục bộ trong một vùng lân cận xung quanh đỉnh ở đỉnh).

Lấy cảm hứng từ nhưng không liên quan đến câu hỏi này trên Math.SE.

cg.comp-geom delaunay-triangulation

— Suresh Venkat
nguồn

Chắc chắn tài sản sẽ giữ cho một tập hợp cục bộ đến một khu vực nhỏ, bằng phẳng của hình cầu, vì đó là một đa tạp. Câu hỏi thực sự sẽ là liệu tài sản có bị hy sinh hay không khi các điểm trải đều trên mặt cầu. Tôi đoán là để có một tam giác Delaunay ở vị trí đầu tiên, bạn sẽ cần các tam giác béo thậm chí nhiều hơn trong trường hợp Euclide, vì vậy tài sản sẽ giữ.

— Josephine Moeller

Không phải điều này xuất phát từ thực tế là phép chiếu lập thể từ một điểm chung trên quả cầu ánh xạ các vòng tròn thành các vòng tròn và bảo toàn các góc giữa các đường cong giao nhau (~ cạnh) vì sự phù hợp? Hay tôi đang thiếu một cái gì đó?

— ai đó

@someone Yep, nên làm điều đó. Ít nhất là hầu hết. Có thể có một hoặc hai lần, nhưng đó sẽ là ý tưởng trung tâm. Tôi đã tự hỏi về điều đó. Tôi đã không nhận ra rằng ánh xạ lập thể là phù hợp.

— Josephine Moeller

@SureshVenkat Bây giờ bạn đề cập đến không gian hyperbol, có lẽ tôi có trực giác của tôi lạc hậu. Trong không gian hyperbol, bạn phải tính đến thực tế là có những vòng tròn "bất hợp pháp" (tức là siêu xe và vòng quay tử vi). Trong khi trong không gian hình cầu bạn không; bạn luôn có thể tìm thấy các vòng tròn đi qua ba điểm.

— Josephine Moeller

Tôi không nghĩ rằng nó hoạt động. Bạn muốn chắc chắn rằng phép chiếu lấy các vòng tròn lớn thành các đường (vì bạn đang đo các góc giữa các cạnh của các hình tam giác, đó là các vòng tròn lớn / thẳng). Tôi không nghĩ rằng bạn không thể làm điều này với một phép chiếu lập thể. Bạn chỉ có thể làm điều này với một hình chiếu từ điểm ở tâm của hình cầu, lấy một số hình tròn thành hình elip.

— Peter Shor

ARGUMENT ĐẦU TIÊN: Đây là câu trả lời đầu tiên của tôi. Lưu ý rằng lập luận này là sai. Xem đối số thứ hai của tôi dưới đây.

Tôi không nghĩ đó là sự thật. Lý do mà nó hoạt động trong mặt phẳng là trong một vòng tròn, góc được ghi bởi phụ âm là một nửa góc trung tâm tương ứng. Do đó, nếu chúng ta có một hình tam giác với một góc nhỏ, bất kỳ điểm nào sẽ tạo một góc lớn hơn với cạnh đối diện đều nằm trong vòng tròn Delaunay trống, và do đó không phải là một trong những điểm trong cấu hình mà chúng ta đang tìm thấy một tam giác.

Bây giờ, giả sử bạn có một tam giác Delaunay trên quả cầu. Đặt một điểm ở trung tâm của quả cầu và chiếu tất cả các piont lên một mặt phẳng. Các cạnh của hình tam giác (các vòng tròn lớn trên hình cầu) đều được đưa đến các đoạn thẳng. Nhưng các vòng tròn cho thuộc tính bóng trống được đưa đến các hình elip, và vì vậy nếu có một điểm nằm ngoài hình elip được chiếu nhưng bên trong đường tròn của tam giác, điểm này sẽ tạo một góc lớn hơn với cạnh.

BIÊN TẬP:

Đợi tí. Câu trả lời này là hoàn toàn sai, bởi vì hình chiếu trung tâm không bảo toàn các góc. Tôi vẫn nghĩ rằng phỏng đoán là sai, bởi vì tôi có một lập luận phức tạp hơn nhiều rằng định lý về các góc được ghi không giữ trên mặt cầu. Đây là đối số:

THỨ HAI:

Lý do điều này giữ trong mặt phẳng là góc được ghi bởi một hợp âm là một nửa góc trung tâm tương ứng. Điều đó đúng bởi vì, trong sơ đồ bên dưới, chúng ta có

C Y X_{2} = = \frac{1}{2} (π - X_{2} C Y)

$CYX_2 = \frac{1}{2} (\pi - X_2 C Y)$

C Y X_{1} = = \frac{1}{2} (π - X_{1} C Y) .

$C Y X_1 = \frac{1}{2} (\pi - X_1 C Y).$

X_{1} Y X_{2} = = \frac{1}{2} X_{1} C X_{2} .

$X_1 Y X_2 = \frac{1}{2} X_1 C X_2.$

hình học hình học

C Y X_{2} = = \frac{1}{2} (π - X_{2} C Y + Một (X_{2} C Y))

$CYX_2 = \frac{1}{2} ( \pi - X_2CY + A(X_2CY) \,)$

C Y X_{1} = = \frac{1}{2} (π - X_{1} C Y + Một (X_{1} C Y)),

$CYX_1 = \frac{1}{2} ( \pi - X_1CY + A(X_1CY) \,),$

A (X Y Z)

$A(XYZ)$

X_{1} Y X_{2} = = \frac{1}{2} (X_{1} C X_{2} + Một (X_{2} C Y) - Một (X_{1} C Y)) .

$X_1 Y X_2 = \frac{1}{2} (X_1 C X_2 + A(X_2CY) - A(X_1CY)\,).$

$Y$ $X_1YX_2$ $A(X_2CY) - A(X_1CY)$ $X_1X_2$ $A(XCY)$ $0$ $X$ $Y$ $X=Y$ , nhưng phát triển đến một số kích thước tối đa ở giữa.

$Y$ $X_1YX_2$ $X_1YX_2$ $Y'$ $X_1YX_2$ $X_1YX_2 < X_1 Y' X_2$

— Peter Shor
nguồn

Tôi không mong đợi câu hỏi này khó đến thế :). háo hức chờ đợi những hình ảnh.

— Suresh Venkat