Làm thế nào là khó khăn để sử dụng phương pháp GCT Mulmuley-Sohoni để hiển thị sự phân tách phức tạp * đã biết *?

Trong bài đăng của khách này bởi Josh Grochow tại weblog phức tạp, ông báo cáo về một hội thảo gần đây dành cho GCT được tổ chức tại Princeton vào tháng Bảy. Một số người tham dự tranh luận rằng chúng ta nên sử dụng GCT để tấn công các vấn đề dễ dàng hơn so với N P để xây dựng trực giác và xem liệu phương pháp này có tiềm năng hay không.$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$

Câu hỏi đã và đang làm phiền tôi:

Có thể sử dụng GCT để hiển thị tiếng tách như hoặc L ≠ P S P Một C E ?$\mathsf{P} \neq \mathsf{EXP}$$\mathsf{L} \neq \mathsf{PSPACE}$

Có cái gì đó như $\mathsf{L} \neq \mathsf{PSPACE}$

1. Thậm chí không có ý nghĩa trong bối cảnh GCT, hoặc
2. Hoàn toàn tầm thường và không thú vị trong khung GCT, hoặc
3. Dẫn đến phỏng đoán khó như so với N P ?$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$

Câu trả lời ngắn: có thể không (1), chắc chắn không (2), và có thể (3).

Đây là một cái gì đó tôi đã suy nghĩ về một thời gian và bây giờ. Đầu tiên, theo một nghĩa nào đó, GCT thực sự nhằm mục đích đưa ra các giới hạn thấp hơn về các chức năng tính toán, thay vì các vấn đề quyết định. Nhưng câu hỏi của bạn có ý nghĩa hoàn hảo cho các phiên bản chức năng lớp , P , P S P Một C E và E X P .$L$$P$$PSPACE$$EXP$

Thứ hai, thực sự chứng minh các phiên bản boolean - những phiên bản mà chúng ta biết và yêu thích, như - có lẽ cực kỳ khó khăn trong cách tiếp cận GCT, vì điều đó đòi hỏi phải sử dụng lý thuyết biểu diễn mô đun (lý thuyết biểu diễn trên hữu hạn các lĩnh vực), không được hiểu rõ trong bất kỳ bối cảnh. $FP \neq FEXP$

Tuy nhiên, một mục tiêu hợp lý có thể được sử dụng GCT để chứng minh một analog đại số của .$FP \neq FEXP$

Để có được câu hỏi của bạn: Tôi tin rằng những câu hỏi này có thể được đặt ra trong ngữ cảnh GCT, mặc dù nó không rõ ràng ngay lập tức như thế nào. Ít nhiều, bạn cần một hàm hoàn chỉnh cho lớp và được đặc trưng bởi các đối xứng của nó; phần thưởng thêm nếu lý thuyết biểu diễn liên quan đến chức năng là dễ hiểu, nhưng điều này thường khá khó.

Ngay cả khi các câu hỏi được đặt ra trong ngữ cảnh GCT, tôi không biết việc sử dụng GCT để chứng minh (tương tự đại số của) v.v ... Những phỏng đoán lý thuyết đại diện sẽ nảy sinh trong những bối cảnh này sẽ khó khăn như thế nào sẽ có một hương vị rất giống với những thứ phát sinh trong P vs N $FP \neq FEXP$$P$$NP$hoặc vĩnh viễn so với định thức. Người ta có thể hy vọng rằng các bằng chứng cổ điển về các kết quả phân tách này có thể đưa ra một số ý tưởng về cách tìm ra các "chướng ngại vật" lý thuyết đại diện cần thiết cho một bằng chứng GCT. Tuy nhiên, bằng chứng của các phát biểu mà bạn đề cập đều là các định lý phân cấp dựa trên đường chéo và tôi không thấy cách chéo sẽ thực sự mang lại cho bạn cái nhìn sâu sắc về lý thuyết biểu diễn liên quan đến một hàm hoàn chỉnh cho (tương tự đại số) , nói. Mặt khác, tôi chưa thấy cách xây dựng F E X P trong bối cảnh GCT, vì vậy còn hơi sớm để nói.$FEXP$$FEXP$

Cuối cùng, như tôi đã đề cập ở chỗ bài đăng blog, Peter Burgisser và Christian Ikenmeyer đã cố gắng tái chứng minh thấp hơn ràng buộc trên biên giới-bậc nhân ma trận (được chứng minh là có 7 năm 2006 bởi Joseph Landsberg). Họ đã có thể hiển thị thứ hạng biên giới ít nhất là 6 bằng cách tìm kiếm trên máy tính cho các vật cản GCT. Cập nhật tháng 4 năm 2013 : kể từ đó họ đã cố gắng chứng minh lại kết quả của Landsberg bằng cách sử dụng vật cản GCT và để hiển thị một tiệm cận 3$2 \times 2$giới hạn dưới của phép nhân ma trận$\frac{3}{2}n^2 - 2$bằng các vật cản như vậy. Mặc dù cho đến nay GCT đã không tái tạo giới hạn thấp hơn đã biết về phép nhân ma trận, nhưng nó cho phép tìm kiếm trên máy tính hiệu quả hơn so với giải pháp thay thế (sẽ liên quan đến các cơ sở Grobner, thời gian gấp đôi theo cấp số nhân trong trường hợp xấu nhất). Trong các cuộc nói chuyện của họ tại hội thảo, cả Peter và Christian đều chỉ ra (chính xác, tôi nói) rằng những gì chúng ta thực sự hy vọng có được khi tính toán các ví dụ nhỏ không phải là chứng minh lại giới hạn đã biết, nhưng một sốhiểubiết sẽ cho phép chúng ta sử dụng những điều này kỹ thuật để chứng minhmớigiới hạn thấp hơn.

Điểm hay của GCT trong bối cảnh nhân ma trận là kỹ thuật này dễ dàng khái quát hóa từ nhân ma trận đến 3 × 3 (mặc dù việc tính toán các vật cản bằng các kỹ thuật hiện tại rõ ràng tốn kém hơn), trong khi phương pháp của Landsberg có vẻ rất khó thực hiện ngay cả đối với 3 × 3 trường hợp. Một điều tương tự có thể được nói về sự phân ly trong lớp phức tạp bạn đề cập đến: GCT là đủ nói chung mà nó có thể áp dụng không chỉ cho kết quả tiếng như F P ≠ F E X P , mà còn cho những người chưa biết như P $2 \times 2$$3 \times 3$$3 \times 3$$FP \neq FEXP$ , trong khi chúng ta biết đường chéo không.$P \neq NP$

Có một bài báo mới về arXiv của Joshua Grochow , trong đó chỉ ra cách đưa một số kỹ thuật ràng buộc thấp hơn đã biết vào khung GCT và có vẻ như nó trả lời câu hỏi của bạn phần nào.

(Điều này chủ yếu chỉ là một bình luận, nhưng không ai sẽ nhận thấy một bình luận vì vậy tôi sẽ đăng nó như một câu trả lời.)

Thống nhất và khái quát hóa các giới hạn dưới đã biết thông qua lý thuyết phức tạp hình học

Joshua A. Grochow

Chúng tôi cho thấy rằng hầu hết các giới hạn mạch số học và quan hệ giữa các giới hạn thấp phù hợp một cách tự nhiên với khung lý thuyết biểu diễn được đề xuất bởi lý thuyết phức tạp hình học (GCT), bao gồm: kỹ thuật đạo hàm riêng (Nisan-Wigderson), kết quả của Razborov và Smolensky trên $AC^0[p]$theo đó nó là một sự thống nhất tự nhiên và khái quát hóa rộng rãi các kết quả đã biết. Nó cũng cho thấy khuôn khổ của GCT ít nhất là mạnh mẽ như các phương pháp đã biết và đưa ra nhiều bằng chứng mới về khái niệm rằng GCT thực sự có thể cung cấp các giới hạn thấp hơn không có triệu chứng. Quan điểm mới này cũng mở ra khả năng tương tác hai chiều hiệu quả giữa các kết quả trước đó và các phương pháp mới của GCT; chúng tôi cung cấp một số gợi ý cụ thể của các tương tác như vậy. Ví dụ, quan điểm lý thuyết biểu diễn của GCT đương nhiên cung cấp các thuộc tính mới để xem xét trong quá trình tìm kiếm giới hạn mới. Quan điểm mới này cũng mở ra khả năng tương tác hai chiều hiệu quả giữa các kết quả trước đó và các phương pháp mới của GCT; chúng tôi cung cấp một số gợi ý cụ thể của các tương tác như vậy. Ví dụ, quan điểm lý thuyết biểu diễn của GCT đương nhiên cung cấp các thuộc tính mới để xem xét trong quá trình tìm kiếm giới hạn mới. Quan điểm mới này cũng mở ra khả năng tương tác hai chiều hiệu quả giữa các kết quả trước đó và các phương pháp mới của GCT; chúng tôi cung cấp một số gợi ý cụ thể của các tương tác như vậy. Ví dụ, quan điểm lý thuyết biểu diễn của GCT đương nhiên cung cấp các thuộc tính mới để xem xét trong quá trình tìm kiếm giới hạn mới.