Có một phiên bản liên tục của định lý lặp lại song song

Định lý giả định song song của Raz là một kết quả quan trọng trong PCP, không gần đúng, v.v ... Định lý này được định hình như sau.

Một trò chơi , trong đó là các tập hữu hạn, là phân phối trên và vị ngữ . Xác định giá trị của trò chơi $G=(\mathcal{S},\mathcal{T},\mathcal{A},\mathcal{B},\pi, V)$ $\mathcal{S},\mathcal{T},\mathcal{A},\mathcal{B}$ $\pi$ $\mathcal{S}\times\mathcal{T}$ $V:\mathcal{S}\times\mathcal{T}\times\mathcal{A}\times\mathcal{B}\rightarrow\{0,1\}$ Vàtrò chơi -fold

v (G) = = \underset{h_{Một} \in H_{Một}, h_{B} \in H_{B}}{tối đa} \underset{S, t}{Σ} π (S, t) V (S, t, h_{Một} (S), h_{B} (t))

$v(G)=\max_{h_A\in\mathcal{H}_A,h_B\in\mathcal{H}_B}\sum_{s,t}\pi(s,t)V(s,t,h_A(s),h_B(t))$

n

$n$

. Định lý nói nếu

sau đó

G^{n} = (S^{n}, T^{n}, A^{n}, B^{n}, π^{n}, V^{n})

$G^n=(\mathcal{S}^n,\mathcal{T}^n,\mathcal{A}^n,\mathcal{B}^n,\pi^n, V^n)$

v (G) \leq 1 - ϵ,

$v(G)\leq 1-\epsilon,$

v (G^{n}) \leq (1 - ϵ^{c})^{Ω (\frac{n}{\log max {| A |, | B |}})}

$v(G^n)\leq (1-\epsilon^c)^{\Omega(\frac{n}{\log\max\{|A|,|B|\}})}$

Câu hỏi của tôi là những gì xảy ra nếu các bộ là vô hạn, trong một không gian liên tục. Nói nếu là các tập con của một không gian, nói hoặc các không gian trừu tượng hơn. Tất cả những thứ còn lại đều giống nhau. Định lý của Raz chỉ đưa ra giới hạn trên tầm thường vì kích thước của các bộ câu trả lời là vô hạn. Rõ ràng giá trị lần được giới hạn trên bởi một bản sao duy nhất. Có giảm theo cấp số nhân cũng xảy ra trong trường hợp liên tục? Nó sẽ là thú vị hơn để hạn chế là bộ sưu tập các chức năng liên tục hoặc chức năng hoặc chức năng đo lường? $\mathcal{S},\mathcal{T},\mathcal{A},\mathcal{B}$ $R^n$ $1$ $n$ $\mathcal{H}_A,\mathcal{H}_B$ $C^{\infty}$

— pyao
nguồn

Có giảm theo cấp số nhân cũng xảy ra trong trường hợp liên tục?

Không. Feige và Verbitsky [FV02] đã chỉ ra rằng với mọi n , có một trò chơi G (với các câu hỏi và câu trả lời hữu hạn) sao cho v ( G ) 3/4 và v ( G ⁿ ) 1/8. Vì công thức của bạn tổng quát hóa các trò chơi với các câu hỏi và câu trả lời hữu hạn ở mọi kích thước, việc lặp lại song song (của bất kỳ lần nào chính xác) không thể làm giảm giá trị của trò chơi từ 3/4 xuống còn 1/8.

[FV02] Uriel Feige và Oleg Verbitsky. Giảm lỗi bằng cách lặp lại song song Kết quả âm tính. Combinatorica , 22 (4): 461 cường478, tháng 10 năm 2002. doi: 10.1007 / s00493-002-0001-0 .

— Tsuyoshi Ito
nguồn