Trò chơi hoán đổi

Đây là một sự phục hồi của một câu hỏi trước đó .

Hãy xem xét trò chơi thông tin hoàn hảo vô tư sau đây giữa hai người chơi, Alice và Bob. Người chơi được hoán vị các số nguyên từ 1 đến n. Ở mỗi lượt, nếu hoán vị hiện tại tăng, người chơi hiện tại thua và người chơi khác thắng; mặt khác, trình phát hiện tại sẽ xóa một trong các số và phát qua cho người chơi khác. Alice chơi đầu tiên. Ví dụ:

• (1,2,3,4) - Bob thắng ngay lập tức, theo định nghĩa.

• (4,3,2,1) - Alice chiến thắng sau ba lượt, bất kể ai chơi như thế nào.

• (2,4,1,3) - Bob có thể giành chiến thắng trong lượt đầu tiên của mình, bất kể Alice chơi như thế nào.

• (1,3,2,4) - Alice thắng ngay lập tức bằng cách loại bỏ 2 hoặc 3; nếu không, Bob có thể giành chiến thắng trong lượt đầu tiên của mình bằng cách loại bỏ 2 hoặc 3.

• (1,4,3,2) - Alice cuối cùng sẽ thắng nếu cô giành được 1 trong lượt đầu tiên của mình; nếu không, Bob có thể giành chiến thắng trong lượt đầu tiên của mình bằng cách không xóa 1.

Có một thuật toán đa thức thời gian để xác định người chơi nào thắng trò chơi này từ một hoán vị bắt đầu nhất định, giả sử chơi hoàn hảo ? Tổng quát hơn, bởi vì đây là một trò chơi vô tư tiêu chuẩn, mọi hoán vị đều có giá trị Sprague Muff Grundy ; ví dụ: (1,2,4,3) có giá trị * 1 và (1,3,2) có giá trị * 2. Làm thế nào là khó để tính giá trị này?

Thuật toán quay lui rõ ràng chạy trong thời gian O (n!), Mặc dù điều này có thể giảm xuống còn thời gian thông qua lập trình động.$O(2^n poly(n))$

"Trò chơi hoán vị" là đẳng cấu của trò chơi sau:

Ngắt kết nối. Người chơi xen kẽ loại bỏ đỉnh từ một đồ thị . Người chơi tạo ra một biểu đồ bị ngắt kết nối hoàn toàn (nghĩa là một biểu đồ không có cạnh) là người chiến thắng.$G$

Biểu đồ tương ứng với một hoán vị ban đầu cụ thể chỉ chứa các cạnh đó mà và có các dấu ngược nhau. Nghĩa là, mỗi cặp số theo thứ tự sai trong hoán vị được liên kết với một cạnh. Rõ ràng các bước di chuyển được phép là đẳng cấu với những người trong trò chơi hoán vị (loại bỏ một số = loại bỏ một nút) và các điều kiện chiến thắng cũng là đẳng cấu (không có cặp nào theo thứ tự giảm dần = không còn cạnh). π ∈ S n ( i , j ) i - j π ( i ) - π ( j $G_{\pi}$$\pi\in S_n$$(i,j)$$i-j$$\pi(i)-\pi(j)$

Một chế độ xem bổ sung có được bằng cách xem xét chơi trò chơi "kép" trên biểu đồ bổ sung , có chứa các cạnh mà và là theo đúng thứ tự trong hoán vị. Trò chơi kép để Ngắt kết nối là: ( i , j ) i $G^{c}_\pi = G_{R(\pi)}$$(i,j)$$i$$j$

Kết nối lại. Người chơi xen kẽ loại bỏ đỉnh từ một đồ thị . Người chơi tạo ra một biểu đồ hoàn chỉnh là người chiến thắng.$G$

Tùy thuộc vào hoán vị cụ thể, một trong những trò chơi này có thể đơn giản hơn các trò chơi khác để phân tích. Ưu điểm của biểu diễn đồ thị là rõ ràng rằng các thành phần bị ngắt kết nối của biểu đồ là các trò chơi riêng biệt, và vì vậy người ta hy vọng sẽ giảm được độ phức tạp. Nó cũng làm cho các đối xứng của vị trí rõ ràng hơn. Thật không may, các điều kiện chiến thắng là không chuẩn ... trò chơi hoán vị sẽ luôn kết thúc trước khi tất cả các động tác được sử dụng hết, mang lại cho nó một cái gì đó của một nhân vật misère . Cụ thể, giá trị nim không thể được tính là nim-sum (XOR nhị phân) của các giá trị nim của các thành phần bị ngắt kết nối.

Đối với Ngắt kết nối, không khó để thấy rằng với bất kỳ đồ thị và bất kỳ , trò chơi tương đương với (trong đó là đồ thị vô nghĩa trên đỉnh) . Để chứng minh điều đó, chúng tôi cần chỉ ra rằng tổng số không phân biệt là một chiến thắng của người chơi thứ hai. Bằng chứng là bằng cảm ứng trên . Nếu là vô nghĩa, thì người chơi đầu tiên sẽ thua ngay lập tức (cả hai trò chơi đều kết thúc). Mặt khác, người chơi thứ nhất có thể di chuyển bằng và người chơi thứ hai có thể sao chép di chuyển của anh ta sang người khác (giảm xuống vớin G ∪ ˉ K n G ˉ $G$$n$$G \cup \bar{K}_n$$G$ n G + G ∪ ˉ $\bar{K}_n$$n$| G | + N G G G ' + G ' ∪ ¯ K n | G ′ | = | G | - 1 n ≥ 2 G + G ∪ ˉ K n - $G + G\cup\bar{K}_n$$|G|+n$$G$$G$$G' + G'\cup \bar{K_n}$$|G'|=|G|-1$ ); hoặc, nếu , người chơi thứ nhất có thể di chuyển trong phần bị ngắt kết nối và người chơi thứ hai có thể làm tương tự (giảm xuống ).$n\ge 2$$G + G\cup\bar{K}_{n-2}$

Điều này cho thấy bất kỳ đồ thị là tương đương với , nơi là một phần của không có đỉnh ngắt kết nối, và hoặc là chẵn lẻ của số đỉnh ngắt kết nối trong . Tất cả các trò chơi trong một lớp tương đương có cùng giá trị nim và hơn nữa, mối quan hệ tương đương tôn trọng hoạt động hợp nhất: nếu và thì . Hơn nữa, người ta có thể thấy rằng các trò chơi trong vàH ∪ K $G$$H \cup K_p$G p = 0 1 $H$$G$$p=0$$1$$G$G ' ~ H ' ∪ K p ' G ∪ G ' ~ ( H ∪ H ' ) ∪ K p ⊕ p ' [ H ∪ K 0 ] [ H ∪ K 1 ] H H + H $G \sim H \cup K_p$$G' \sim H' \cup K_{p'}$$G \cup G' \sim (H \cup H')\cup K_{p\oplus p'}$$[H \cup K_0]$$[H \cup K_1]$có các giá trị nim khác nhau trừ khi là đồ thị null: khi chơi , người chơi đầu tiên có thể lấy đỉnh bị cô lập, để lại , sau đó sao chép di chuyển của người chơi thứ hai sau đó.$H$ H + $H + H \cup K_1$$H+H$

Tôi không biết bất kỳ kết quả phân tách liên quan nào cho Kết nối lại.

Hai loại hoán vị đặc biệt tương ứng với các trò chơi heap đặc biệt đơn giản.

1. Đầu tiên là một loạt các tăng dần , ví dụ, . Khi có dạng này, biểu đồ là một tập hợp của các nhóm khác nhau và trò chơi Disconnect giảm xuống thành một trò chơi trên đống: người chơi thay phiên nhau loại bỏ một hạt đậu khỏi một đống cho đến khi tất cả các đống có kích thước .π G π 1$32165487$$\pi$$G_{\pi}$$1$
2. Thứ hai là một đợt giảm dần của những người cổ đại , ví dụ: . Khi có dạng này, biểu đồ là một liên minh của các nhóm khác nhau và trò chơi Recconnectect giảm xuống thành một trò chơi trên đống: người chơi thay phiên nhau loại bỏ một hạt đậu khỏi một đống cho đến khi có chỉ có một đống trái .π G c $78456123$$\pi$$G^{c}_{\pi}$

Một suy nghĩ nhỏ cho thấy rằng hai trò chơi khác nhau trên đống (chúng ta có thể gọi chúng là 1-Heaps và One-Heap , có nguy cơ nhầm lẫn), trên thực tế, bản thân chúng là đẳng cấu. Cả hai có thể được biểu thị bằng một trò chơi trên sơ đồ Trẻ (như được đề xuất ban đầu bởi @domotorp) trong đó người chơi thay thế xóa một hình vuông bên phải thấp hơn cho đến khi chỉ còn một hàng duy nhất. Đây rõ ràng là trò chơi tương tự như 1-Heaps khi các cột tương ứng với heap và cùng một trò chơi với One-Heap khi các hàng tương ứng với heap.

Một yếu tố chính của trò chơi này, mở rộng đến Ngắt kết nối và kết nối lại, là thời lượng có liên quan đến trạng thái trò chơi cuối cùng một cách đơn giản. Khi đến lượt của bạn, bạn sẽ giành chiến thắng nếu trò chơi có số bước di chuyển còn lại, bao gồm cả lượt bạn sắp thực hiện. Vì một ô vuông duy nhất bị xóa mỗi lần di chuyển, điều này có nghĩa là bạn muốn số ô vuông còn lại ở cuối trò chơi có tính chẵn lẻ ngược lại như hiện tại. Hơn nữa, số lượng hình vuông sẽ có cùng mức tương đương trên tất cả các lượt của bạn; Vì vậy, bạn biết ngay từ đầu những gì bạn muốn tính chẵn lẻ cuối cùng. Chúng ta có thể gọi hai người chơi là Eve và Otto, tùy theo số liệu cuối cùng phải là số chẵn hay lẻ để họ giành chiến thắng. Eva luôn di chuyển trong các trạng thái có tính chẵn lẻ và tạo ra các trạng thái có chẵn lẻ, và Otto thì ngược lại.

Trong câu trả lời của mình, @PeterShor đưa ra một phân tích đầy đủ về One-Heap. Không lặp lại bằng chứng, upshot là như sau:

• Otto thích heap và heap, và có thể chịu đựng được một đống lớn hơn. Anh ta thắng nếu anh ta có thể thực hiện tất cả các kích thước heap ngoại trừ một , ít nhất là không cho Eve một chiến thắng ngay lập tức theo mẫu . Một chiến lược tối ưu cho Otto là luôn lấy từ đống lớn thứ hai trừ khi nhà nước là , khi anh ta nên lấy từ . Otto sẽ thua nếu có quá nhiều đậu trong đống lớn để bắt đầu.2 ≤ 2 ( 1 , n ) ( 1 , 1 , n > 1 ) $1$$2$$\le 2$$(1,n)$$(1,1,n>1)$$n$
• Giao thừa không thích -heaps. Cô ấy thắng nếu cô ấy có thể tạo ra tất cả các kích cỡ heap . Một chiến lược tối ưu cho Eve là luôn lấy từ -eap, nếu có, và không bao giờ lấy từ -eap. Giao thừa sẽ mất nếu có quá nhiều heap để bắt đầu.≥ 2 1 2 $1$$\ge 2$$1$$2$$1$

Như đã lưu ý, điều này cũng mang lại chiến lược tối ưu cho 1-Heaps, mặc dù chúng có phần khó xử hơn khi nói cụm từ (và tôi cũng có thể đang mắc lỗi trong "dịch" từ chính sang kép). Trong trò chơi 1-Heaps:

• Otto thích một hoặc hai đống lớn, và có thể chịu đựng bất kỳ số lượng heap nào. Anh ta thắng nếu anh ta có thể tạo ra tất cả trừ hai đống lớn nhất là đống, ít nhất là không cho Eve một chiến thắng ngay lập tức về hình thức . Một chiến lược tối ưu cho Otto là luôn lấy từ đống lớn thứ ba, hoặc từ đống nhỏ hơn khi chỉ có hai đống.1 ( 1 , 1 , Hoài , 1 , 2 $1$$1$$(1,1,\dots,1,2)$
• Eve không thích một khoảng cách giữa các đống lớn nhất và lớn thứ hai. Cô ấy thắng nếu cô ấy có thể làm cho hai đống lớn nhất có cùng kích thước. Một chiến lược tối ưu cho Eve là luôn lấy từ đống lớn nhất, nếu nó là duy nhất và không bao giờ nếu có chính xác hai kích thước lớn nhất.

Như @PeterShor lưu ý, không rõ bằng cách nào (hoặc nếu) những phân tích này có thể được mở rộng cho các trò chơi chung hơn về Ngắt kết nối và Kết nối lại.

Trong câu trả lời của mình, domotorp đề nghị phân tích một trường hợp đặc biệt của trò chơi. Trường hợp đặc biệt này phát sinh khi hoán vị là một chuỗi các chuỗi tăng dần, mỗi chuỗi lớn hơn chuỗi sau, chẳng hạn như (8,9,5,6,7,4,1,2,3). Trong trò chơi này, bạn bắt đầu với một tập hợp các đống đá và người chơi thay phiên nhau loại bỏ một viên đá khỏi một đống. Người chơi để lại một đống duy nhất sẽ thắng. Chúng ta sẽ nói heap thứ có đá trong đó và giả sử rằng được đưa ra theo thứ tự giảm dần. Ví dụ: đối với hoán vị ở trên, là 3,3,2,1. Tôi đã cố gắng đưa ra phân tích về trò chơi này trong các bình luận cho câu trả lời của domotorp, nhưng (a) tôi đã hiểu sai và (b) không có đủ chỗ trong các bình luận để đưa ra bằng chứng thực sự.h i h i h $i$$h_i$$h_i$$h_i$

Để phân tích trò chơi này, chúng ta cần so sánh hai đại lượng: , số lượng heap chứa các viên đá đơn và ; lưu ý rằng chúng tôi bỏ qua đống lớn nhất trong tổng số. Đây là số lượng đá bạn sẽ phải loại bỏ để đảm bảo rằng tất cả các đống nhưng một viên chứa không quá hai viên đá. Chúng tôi tuyên bố rằng các vị trí mất như sau:t = ∑ i ≥ 2 , h i > $s$$t=\sum_{i\geq 2, h_i>2\,} h_i -2$

1. Vị trí trong đó chứa một số lượng đá lẻ.$t \leq s-2$

2. Vị trí trong đó chứa số lượng đá chẵn.$t \geq s$

Thật dễ dàng để chỉ ra rằng từ một vị trí thua, bạn phải đi đến một vị trí chiến thắng, vì$t - s$ chỉ có thể thay đổi tối đa 1 mỗi lượt và số lượng đá giảm đi 1 mỗi lần di chuyển.

Để kết thúc cho thấy điều này là chính xác, chúng tôi cần chỉ ra rằng từ bất kỳ vị trí nào không thuộc danh mục (1) hoặc (2), người chơi đầu tiên có thể trong một lần di chuyển hoặc đạt đến một vị trí trong thể loại (1) hoặc (2), hoặc thắng trực tiếp.

Có hai trường hợp:

1. $t \geq s-1$$s>0$$t \geq s$$s = 0$$t \geq s$

2. $t \leq s-1$s t ≤ s - $t$$s$$t \leq s-2$

Tôi đã thử khái quát chiến lược này cho trò chơi gốc và chưa tìm ra cách thực hiện.

Tôi đã triển khai giải pháp để kiểm tra giả thuyết nhanh. Hãy chơi với nó . Nếu bạn không có trình biên dịch C ++ cục bộ, bạn có thể chạy nó trên các đầu vào khác nhau từ xa bằng cách sử dụng liên kết "tải lên với đầu vào mới".$O(2^n n)$

@ Jɛ ff E Đã xảy ra rằng (1,4,3,2) có giá trị * 1, không phải * 2 như bạn đề xuất.

Chỉnh sửa ngày 5 tháng 1: Trên thực tế, Trò chơi One Heap được mô tả dưới đây là trường hợp đặc biệt của sự cố, tức là khi các số theo nhau theo cách cụ thể sao cho nhóm thứ nhất lớn hơn nhóm thứ hai lớn hơn nhóm thứ ba, v.v. và số lượng trong mỗi nhóm đang tăng lên. Ví dụ 8, 9, 4, 5, 6, 7, 2, 3, 1 là một hoán vị như vậy. Vì vậy, tôi đề nghị để giải quyết trường hợp đặc biệt này đầu tiên.

Tuyên bố miễn trừ trách nhiệm: Tôi không còn cho rằng bằng chứng dưới đây là chính xác, xem ví dụ nhận xét của Tsuyoshi cho thấy việc xóa một số khỏi hoán vị sẽ đưa ra một sơ đồ không thể có được bằng cách xóa một hình vuông khỏi sơ đồ hoán vị. Tôi đã để lại câu trả lời ở đây để chỉ ra rằng phương pháp này không hiệu quả, cộng với vì nó chứa một trò chơi đơn giản khác.

Trò chơi có một công thức khác rất đơn giản nhờ Young Tableaux. Tôi chắc chắn rằng nó có thể được phân tích từ đó như các trò chơi khác và nó sẽ mang lại một thuật toán thời gian tuyến tính.

Trước tiên, hãy xác định trò chơi sau trên Sơ đồ trẻ: Ở mỗi lượt, nếu sơ đồ hiện tại nằm ngang (tất cả các ô vuông trong một dòng), người chơi hiện tại sẽ thua và người chơi khác thắng; mặt khác, người chơi hiện tại sẽ xóa một trong các ô vuông dưới cùng bên phải và phát qua cho người chơi khác.

Bây giờ sắp xếp chuỗi số vào một Tableaux trẻ. Yêu cầu chính là người chiến thắng trong trò chơi gốc giống như người chiến thắng như trò chơi sơ đồ bắt đầu với hình dạng này. Để thấy điều này, lưu ý rằng bất cứ khi nào người chơi xóa một số, sơ đồ của chuỗi mới có thể đạt được bằng cách xóa một ô vuông dưới cùng bên phải của sơ đồ. Hơn nữa, bất kỳ sơ đồ như vậy có thể đạt được bằng cách xóa số từ hình vuông dưới cùng bên phải tương ứng. Những tuyên bố này theo lý thuyết Young Tableaux tiêu chuẩn.

Mặc dù trò chơi sơ đồ này đủ đơn giản, nhưng nó tương đương tầm thường với trò chơi sau, có vẻ chuẩn hơn:

Trò chơi một đống: Người chơi được cho một số đống với một số viên sỏi trong mỗi. Ở mỗi lượt, nếu chỉ còn một đống, người chơi hiện tại thua và người chơi khác thắng; mặt khác, người chơi hiện tại sẽ loại bỏ một viên sỏi khỏi một đống và chơi chuyển cho người chơi khác.

Nếu có một giải pháp đơn giản cho trò chơi heap (và tôi tin chắc rằng có một) chúng ta cũng có một giải pháp cho trò chơi gốc: Chỉ cần đặt chuỗi trong Young Tableaux và biến sơ đồ của nó thành đống.

Thật không may, tôi không thấy vị trí heap nào đang chiến thắng / cách xác định các giá trị Sprague trên Grundy. Tôi đã kiểm tra một vài trường hợp bằng tay và sau đây là các vị trí bị mất với tối đa 6 viên sỏi:

một đống; (1,1,1); (2,2); (3,1,1); (2,1,1,1); (1,1,1,1,1); (4.2); (3,3); (2,2,2).

Bất cứ ai cũng có thể giải quyết trò chơi này?

Chỉnh sửa: Peter Shor có thể, xem câu trả lời của mình!