Là vấn đề độc lập tối đa của parametriised trong FPT?

Vấn đề mệnh đề độc lập tối đa được tham số hóa:
Đầu vào: Công thức r-CNFSAT F có n biến và m mệnh đề, k
Ques: Có tồn tại ít nhất k mệnh đề sao cho chúng độc lập lẫn nhau tức là không có biến nào xảy ra nhiều hơn một lần trong tất cả các mệnh đề này.
Thông số: k
Tôi muốn biết vấn đề này có ở FPT hay không. Trong cả hai tình huống, một ý tưởng để tiến lên phía trước sẽ được đánh giá cao.

Tôi sẽ giả sử rằng k trong k-CNF khác với số mệnh đề k và cũng là mệnh đề sau là tham số. Tôi sẽ thay thế k-CNF bằng k'-CNF sau đây.

Vấn đề này ở FPT cho mọi k '. Lưu ý rằng không có "logic" nào được sử dụng trong định nghĩa vấn đề, vì vậy bạn chỉ có thể giả sử rằng bạn có một tập hợp m tập hợp n phần tử, trong đó mỗi bộ có tối đa k '. (Loại bỏ các dấu hiệu của chữ không thay đổi vấn đề.)

Bây giờ bạn đang yêu cầu một bộ đóng gói có kích thước k từ một bộ sưu tập có kích thước m, trong đó mọi bộ đều có giá trị tối đa k ' . Đây là FPT khi mỗi bộ có kích thước không đổi. Có nhiều tài liệu tham khảo cho vấn đề này, cụm từ chính là "thiết lập đóng gói".

$\mathcal{C}$$r$$S$$k$
$k$
$\mathcal{C'} \subseteq \mathcal{C}$$k$

$r$
$r$

[1]: Rodney G. Downey, Michael R. Fellows: Độ phức tạp tham số. Springer, 1999.
[2]: Michael R. Fellows, Christian Knauer, Naomi Nishimura, Mitchhakar Ragde, Frances A. Roshua, Ulrike Stege, Dimitrios M. Thilikos, Sue Whitesides: Thuật toán cố định nhanh hơn Thuật toán 52 (2): 167-176 (2008)

Hãy để tôi thử giảm hai chiều rõ ràng để làm rõ độ cứng của FPT / W trong các tình huống khác nhau (chúng tôi khuyên bạn nên tìm các tài liệu tham khảo tuyệt vời trong các câu trả lời khác, vì đây chỉ là điều tôi đã làm sau khi đọc câu hỏi của bạn, và tôi có thể dễ dàng bỏ lỡ một cái gì đó).

$k$

$(i,j)$$i < j$

$\{(u,v) ~|~ (u,v) \in E(G)\}$

$u$$v$

Bây giờ, đây là một giảm cho tập độc lập: giới thiệu một đỉnh cho mỗi bộ và thêm một cạnh giữa hai bộ nếu chúng có chung một phần tử. Một lần nữa, một tập hợp các tập hợp rời rạc lẫn nhau trong gia đình tương ứng chính xác với một tập hợp độc lập trong biểu đồ này.

$W[1]$$\Delta = O(1)$$N[v]$$|N[v]|$

Đó là lý do tại sao vấn đề của bạn là W-hard nói chung và FPT trong trường hợp đặc biệt khi kích thước của các bộ trong gia đình cụ thể bị giới hạn.