Giải quyết siêu dây chính xác

Những gì được biết về độ phức tạp chính xác của vấn đề siêu dây ngắn nhất? Nó có thể được giải quyết nhanh hơn so với $O^*(2^n)$ ? Có các thuật toán đã biết giải quyết siêu chuỗi ngắn nhất mà không giảm xuống TSP không?

CẬP NHẬT: $O^*(\cdot)$ triệt tiêu các yếu tố đa thức.

Vấn đề siêu chuỗi ngắn nhất là một vấn đề có câu trả lời là chuỗi ngắn nhất chứa mỗi chuỗi từ một chuỗi các chuỗi đã cho. Câu hỏi là về việc mở rộng tối ưu hóa một vấn đề NP-hard nổi tiếng Shortest Superopes (Garey và Johnson, tr.228).

Giả sử các chuỗi có độ dài đa thức trong , thì có, có ít nhất một$n$giải pháp thời gian. Lý do là sự giảm nổi tiếng từ bài toán siêu chuỗi phổ biến ngắn nhất sang ATSP với trọng số nguyên có kích thước đa thức, do đó bạn có thể giải quyết bằng phép nội suy đa thức nếu bạn có thể đếm các chu kỳ Hamilton trong một đa giác có hướng. Vấn đề thứ hai có$2^{n-\Omega(\sqrt{n/\log n})}$giải pháp thời gian. Bjorklund 2012$2^{n-\Omega(\sqrt{n/\log n})}$

Việc giảm từ ATSP với trọng số $w_{uv}$ cho mỗi cặp đỉnh đến chu kỳ Hamilton được tính như sau:$u,v$

Đối với , nơi w tổng là một trên ràng buộc trên tất cả các khoản tiền của n trọng trong trường hợp ATSP, xây dựng một đồ thị G r nơi bạn thay thế mỗi trọng lượng w u v với r w u v cung từ$r=1,2,\cdots,w_\mbox{sum}$$w_\mbox{sum}$$n$$G_r$$w_{uv}$$r^{w_{uv}}$ đến v .$u$$v$

Bằng cách giải toán chu trình Hamilton cho mỗi , bạn có thể thông qua phép nội suy đa thức xây dựng một đa thức ∑ w sum l = 0 a l r l với một l bằng với số lần tham quan TSP trong biểu đồ trọng số ban đầu l . Do đó định vị l nhỏ nhất sao cho$G_r$$\sum_{l=0}^{w_\mbox{sum}} a_lr^l$$a_l$$l$$l$ khác không giải quyết vấn đề.$a_l$

Tôi đã nghiên cứu vấn đề và tôi tìm thấy một số kết quả. Chuỗi siêu phổ biến ngắn nhất (SCS) có thể được giải quyết trong thời gian chỉ với không gian đa thức ( Kohn, Gottlieb, Kohn$2^n$ ; Karp ; Bax, Franklin ).

Xấp xỉ được biết đến gần nhất là $2\frac{11}{30}$ ( Paluch ).

Tính gần đúng nhất của nén là $3\over4$ ( Paluch ).

Nếu SCS có thể được xấp xỉ bởi một yếu tố trên bảng chữ cái nhị phân, thì nó có thể được xấp xỉ bởi một yếu tố $\alpha$$\alpha$ trên bất kỳ bảng chữ cái nào ( Vassilevska-Williams ).

SCS không thể được xấp xỉ với tỷ lệ tốt hơn $1.0029$ trừ khi P = NP ( Karpinki, Schmied ).

Nén tối đa không thể xấp xỉ với tỷ lệ tốt hơn $1.0048$ trừ khi P = NP ( Karpinki, Schmied ).

Tôi sẽ biết ơn bất kỳ bổ sung và đề xuất.

Đây là vấn đề siêu dây ngắn nhất: bạn đang trao chuỗi s 1 , ... , s n trên một số bảng chữ cái Σ và bạn muốn tìm chuỗi ngắn hơn Σ chứa mỗi s i là một dãy ký tự liên tiếp, tức là một chuỗi con.$n$$s_1,\ldots, s_n$$\Sigma$$\Sigma$$s_i$

Khi chúng ta nói về các thuật toán chính xác cho vấn đề, việc tìm độ dài của siêu chuỗi ngắn nhất tương đương với việc tìm mức nén tối đa C là tổng của tất cả các chuỗi trùng lặp liên tiếp trong siêu chuỗi cuối cùng, tức là C = ∑ i | s i | - L .$L$$C$$C=\sum_i |s_i|-L$

Theo như tôi biết, thuật toán chính xác nhanh nhất để chạy siêu dây ngắn nhất trong ( 2 n ), nơi n là số các chuỗi. Đây là một thuật toán lập trình động đơn giản tương tự như thuật toán lập trình động cho đường dẫn dài nhất (và các vấn đề khác):$O^*$$2^n$$n$

Đối với mỗi tập hợp con của chuỗi và chuỗi v trong S, chúng tôi tính toán nén tối đa trên tất cả các siêu chuỗi trên S trong đó v là chuỗi đầu tiên xuất hiện trong siêu chuỗi, lưu trữ chuỗi này dưới dạng C (( v , S )). Chúng tôi thực hiện điều này bằng cách trước tiên xử lý tất cả các tập hợp con chỉ có một phần tử và sau đó xây dựng các giá trị C (( v , S )) cho các tập hợp con S trên chuỗi k từ các chuỗi trên k - $S$$v$$S$$S$$v$$v,S$$v,S$$S$$k$$k-1$ chuỗi. Đặc biệt:

Đối với mỗi chuỗi chúng ta nhìn vào tất cả các tập con S ' trên k - 1 chuỗi mà không làm bao gồm u và thiết lập giá trị cho ( u , u ∪ S ' ) đến mức tối đa trên dây v trong S ' của tổng mức tối đa trùng lặp của u với v với C (( v , S ′ )).$u$$S'$$k-1$$u$$u,{u}\cup S'$$v$$S'$$u$$v$$v,S'$

Thời gian chạy cuối cùng không quá O ( ) trong đó l là độ dài chuỗi tối đa.$n^2 2^n + n^2 l$$l$

Có các thuật toán tốt hơn nếu bạn giả sử rằng nhỏ, hoặc các cặp trùng lặp nhỏ, kích thước bảng chữ cái nhỏ, v.v., nhưng tôi không biết bất kỳ thuật toán nào nhanh hơn 2 n .$l$$2^n$