Tôi muốn một tiện ích dễ dàng để chứng minh NP-Complete Planar Hamiltonian (từ Hamiltonian Chu kỳ)

Được biết, chu trình Hamilton (Ham viết tắt) là NP-Complete và Planar Ham Chu kỳ là NP-Complete. Bằng chứng cho Planar Ham Chu kỳ không phải từ Ham Chu kỳ.

Có một tiện ích đẹp nào đó, được đưa ra một biểu đồ G, thay thế tất cả các giao điểm bằng một số tiện ích phẳng để bạn có một biểu đồ phẳng G 'sao cho

G có chu trình Ham iff G 'có chu trình Ham.

(Tôi sẽ hài lòng với các biến thể - như Ham Ham hoặc Ham Ham được chỉ đạo hoặc Ham Ham được chỉ đạo.)

— Bill GASARCH
nguồn

Một quan sát có phần tầm thường. Giả sử bạn nhúng và các cạnh và chéo, với xuất hiện theo chiều kim đồng hồ quanh điểm giao nhau. Thay thế nó bằng một tiện ích có bốn điểm vào tương ứng với . Nếu một chu trình Hamilton trong sử dụng cả hai cạnh và

sau đó trong

chu kỳ tương ứng sẽ phải tự chéo. Tất nhiên, điều này giả định cách giải thích ngây thơ nhất về "` tiện ích "là gì và cũng là chu trình hamiltonian trong

G

$G$

(x, y)

$(x,y)$

(u, v)

$(u,v)$

x, v, y, u

$x,v,y,u$

P_{x v y u}

$P_{xvyu}$

x^{'}, v^{'}, y^{'}, u^{'}

$x',v',y',u'$

x, v, y, u

$x,v,y,u$

G

$G$

(x, y)

$(x,y)$

(u, v)

$(u,v)$

G^{'}

$G'$

Cần phải làm theo các cạnh tương tự như chu kỳ tương ứng trong

G^{'}

$G'$

G

$G$

— Marek Chrobak

Ham chu kỳ là gì? Xin đừng cho rằng tất cả mọi người hiểu chữ viết tắt của bạn.

— Tsuyoshi Ito

@MarekChrobak: Tôi đồng ý với nhận xét của bạn. Bạn đưa ra hai cách để thoát khỏi cuộc tranh cãi của bạn. Tôi nghĩ rằng một trong tự nhiên nhất là cái thứ hai: Có một Hamiltonian Cycle

trong

khi và chỉ khi tồn tại một chu trình Hamilton

x \to y \to \dots \to u \to v \to \dots \to x

$x\to y\to\dotsb\to u\to v\to\dotsb\to x$

G

$G$

x \to x^{'} \to \dots \to u^{'} \to u \to \dots \to y \to y^{'} \to \dots \to v^{'} \to v \to \dots \to x

$x\to x'\to\dotsb \to u'\to u\to\dotsb\to y\to y'\to\dotsb\to v'\to v\to\dotsb\to x$

— Bruno

@Tsuyoshi: Có nghĩa là chu kỳ Hamilton. Tôi nghĩ thật hợp lý khi cho rằng mọi người đều có thể hiểu được.

— domotorp

@Bill: Tôi tự hỏi tại sao bạn nghĩ rằng một tiện ích như vậy nên tồn tại. Số lượng cửa khi nhúng một đồ thị tùy ý vào chiếc máy bay có thể rất lớn (

cho các đồ thị đầy đủ - xem lemma qua). Vì vậy, nếu bạn bắt đầu với một biểu đồ có

cạnh và nhiều cạnh (ví dụ gần bậc hai) thì biểu đồ được nhúng với các giao điểm được thêm dưới dạng các đỉnh có cấu trúc hoàn toàn khác nhau ...

Θ (n^{4})

$\Theta(n^4)$

n

$n$

— Sariel Har-Peled

Không. Ít nhất, không có tiện ích "đẹp" nào cho một chiếc crossover.

Đặt và là một chữ thập mà chúng ta muốn thay thế. $(a, b)$ $(x,y)$ nhập mô tả hình ảnh ở đây

Có nhiều trường hợp cho biểu đồ của chúng tôi, , nhưng chúng tôi phải đáp ứng ít nhất bốn trường hợp sau. Trường hợp 1: có ít nhất một chu kỳ hamiltonian, nhưng không sử dụng một trong hai cạnh. Trường hợp 2: có ít nhất một chu kỳ và tất cả các chu trình sử dụng chính xác một trong hai cạnh. Trường hợp 3: có ít nhất một chu kỳ và tất cả các chu kỳ đều sử dụng cả hai cạnh. Trường hợp 4: không có chu kỳ hamiltonian. $G$

Nếu tiện ích của chúng tôi có hai (hoặc nhiều hơn) đỉnh cho mỗi liền kề với tất cả những người hàng xóm cùng (vì vậy mà và giữ lại 's hàng xóm) thì sẽ không nhất thiết vẫn được phẳng. Để đáp ứng các trường hợp đầu tiên của chúng tôi ở trên, sau đó chúng tôi không thể có bất kỳ đỉnh mới nào trong tiện ích. $a, b, x, y$ $a_0$ $a_1$ $a$ $G'$

Để đáp ứng trường hợp 3 ở trên, chúng ta phải có ít nhất hai cạnh trong tiện ích. Cả hai mặt phẳng và cặp phủ, cũng không thỏa mãn trường hợp 2, vì vậy chúng ta cần cạnh thứ ba. Không mất tính tổng quát, hãy để ba người đó là . $(a, x), (y, b)$ $(a, y), (x, b)$ $(a, y), (y, b), (x,b)$

Tuy nhiên, thay thế mà phá vỡ trường hợp thứ tư, vì có thể chứa một chu trình Hamilton khi không. Lấy ví dụ, nơi và $G'$ $G$ $G = (V, E)$ $V = \{a, b, x, y, p, q, r, s, t\},$ . không phải là phẳng và không có chu kỳ hamiltonian. $E = \{(a, b), (x, y), (a, r), (a, p), (a, q), (b, s), (b, x), (p, s), (p, t), (p, y), (q, x), (r, y), (t, x)\}$ $G$ nhập mô tả hình ảnh ở đây

Sau đó, nơi $G' = (V, E')$ $E' = \{(a, y), (y, b), (x, b)\} \cup$ . là phẳng, và một có chu trình Hamilton ( $\{(x, y), (a, r), (a, p), (a, q), (b, s), (p, s), (p, t), (p, y), (q, x), (r, y), (t, x)\}$ $G'$ ). $a, q, x, t, p, s, b, y, r, a$

Lưu ý rằng nếu là cạnh chưa thêm thay vì , sau đó sẽ không có một chu trình Hamilton. Dường như, bạn phải có kiến thức về chu trình có thể để chọn cạnh chính xác. $(b, y)$ $(a, x)$ $G'$

Một vấn đề tương tự tồn tại khi có tiện ích bao gồm một trong các cạnh chéo, chẳng hạn như: . $(a, b), (a, y), (x, b)$

Kể từ khi thêm ba cạnh phá vỡ trường hợp 4, thêm nhiều hơn sẽ không giúp đỡ.

Do đó, không có tiện ích "đẹp" nào tồn tại. Có thể là một tiện ích tồn tại chú ý nhiều hơn đến hàng xóm của từng và , nhưng điều đó có vẻ không "hay" lắm. $a, b, x$ $y$

(Lưu ý: vui lòng cho tôi biết nếu tôi thực hiện bất kỳ lỗi nào ở trên!)

( ~~Lưu ý 2: Tôi đã có một số số liệu đẹp, nhưng không thể đăng chúng.~~ Đã đăng.)

— Kyle
nguồn

Tôi nghĩ bạn nên có thể đăng số liệu bây giờ.

— Jukka Suomela