Cơ thể lồi với chỉ tiêu l2 dự kiến tối thiểu

Xét một thân lồi $K$ tâm ở gốc và đối xứng (nghĩa là nếu $x\in K$ thì $-x\in K$ ). Tôi mong muốn tìm thấy một cơ thể khác nhau lồi $L$ mà $K\subseteq L$ và biện pháp sau đây được giảm thiểu:

$f(L)=\mathbb{E}(\sqrt{x^T \cdot x})$ , trong đó $x$ là một điểm được chọn thống nhất ngẫu nhiên từ L.

Tôi ổn với xấp xỉ hệ số gần đúng với số đo.

Một số lưu ý - Dự đoán trực quan đầu tiên rằng chính $K$ là câu trả lời sai. Ví dụ, coi $K$ là một hình trụ mỏng ở kích thước rất cao. Sau đó, chúng ta có thể lấy $L$ sao cho $f(L)<f(K)$ bằng cách để $L$ có nhiều âm lượng gần với gốc hơn.

cg.comp-geom approximation convex-geometry

— Bệnh viện Ashwinkumar
nguồn

Đối với những gì không có giá trị của nó, vấn đề có vẻ khó khăn. Ngay cả trong 3d không rõ ràng làm thế nào để giải quyết nó.

— Sariel Har-Peled

Rõ ràng là làm thế nào để làm điều đó trong 2d tối ưu? Tất nhiên trong 2d một xấp xỉ hệ số không đổi là không thú vị.

— Ashwinkumar BV

Nó không rõ ràng với tôi. Xấp xỉ yếu tố không đổi là rõ ràng trong bất kỳ chiều nào bằng cách xấp xỉ hình dạng bởi một ellipsoid www.math.sc.edu/~howard/Notes/john.pdf. Hằng số sẽ phụ thuộc vào kích thước.

— Sariel Har-Peled

Tôi quan tâm nhiều hơn đến xấp xỉ hệ số không đổi trong đó hằng số không phụ thuộc vào kích thước.

— Ashwinkumar BV

Một cách tự nhiên. Nhưng hãy để tôi lấy lại - ngay cả trường hợp ellipsoid cũng không rõ ràng. Nếu bạn muốn tấn công vấn đề này, đó sẽ là phiên bản đầu tiên để điều tra. Theo trực giác, bạn phải quyết định bỏ qua kích thước nào và kích thước nào sẽ mở rộng. Có vẻ như giải pháp tự nhiên là vỏ lồi của sự kết hợp của ellipsoid với một ellipsoid khác, trong đó các trục của ellipsoid mới bằng với một số tham số r hoặc bằng với ellipsoid khác.

— Sariel Har-Peled

Câu trả lời:

Nếu chúng tôi giới hạn và là cả hai ellipsoids, thì vấn đề của bạn có thể được giải quyết với bất kỳ độ chính xác nào với SDP. Tôi biết đây không phải là những gì bạn yêu cầu ban đầu, nhưng có vẻ như chúng tôi không có giải pháp nào ngay cả đối với trường hợp hạn chế này và có thể nó có thể giúp ích nói chung. $K$ $L$

$E$ $J$ $F$ $E = FB_2$ $G$ $J = GB_2$ $B_2$ $\mathbb{E}_{x \sim J}[\|x\|_2^2] = \frac{1}{n}\mathsf{Tr}(G^TG)$ $E \subseteq J \Leftrightarrow J^\circ \subseteq E^\circ$ $E^\circ$ $E$ $E^\circ = \{x: x^TF^TFx \leq 1\}$ và . Theo sau (và do đó ) khi và chỉ khi là ma trận bán nguyệt dương. $J^\circ = \{x: x^TG^TGx \leq 1\}$ $J^\circ \subseteq E^\circ$ $E \subseteq J$ $G^TG - F^TF$

Vì vậy, SDP được xác định bởi: được cung cấp một ma trận PSD đối xứng , tìm ma trận PSD đối xứng st là PSD và được thu nhỏ. có thể được tìm thấy bằng cách giải SDP và sau đó một SVD sẽ cung cấp cho các trục và chiều dài trục của . $M$ $N$ $N - M$ $\mathsf{Tr}(N)$ $N$ $J$

— Sasho Nikolov
nguồn

(Như đã đề cập trong các nhận xét, cách tiếp cận sau không hoạt động. Đối tượng thu được không lồi. Nó đặc trưng cho một đối tượng "hình ngôi sao" với khoảng cách dự kiến tối thiểu.)

Tôi nghĩ rằng đối tượng tối ưu sẽ là một liên minh của và một số quả bóng tập trung ở điểm gốc. Dưới đây là những suy nghĩ của tôi. Theo định nghĩa của bạn về , trong đó là khoảng cách từ gốc đến bề mặt dọc theo một hướng cụ thể. Tôi đã sử dụng thay vì =, vì tôi đã bỏ một số hằng số. Bây giờ chúng tôi muốn giảm thiểu theo các ràng buộc $K$ $f(L)$

f (L) \sim \int_{S^{d - 1}} \int_{0}^{r_{L}} x \frac{d (x^{d} / x_{L}^{d})}{d x} \frac{r_{L}}{v o l (L)} d x d S \sim \int_{S^{d - 1}} \frac{r_{L}^{2}}{v o l (L)} d S \sim \frac{\int_{S^{d - 1}} r_{L}^{2} d S}{\int_{S^{d - 1}} r_{L} d S} \overset{d e f}{=} g (L),

$f(L) \sim \int_{{\mathbb S}^{d-1}} \int_{0}^{r_L} x\frac{\mathrm{d}(x^d/x_L^d)}{\mathrm dx}\frac{r_L}{\mathrm{vol}(L)} \mathrm dx\mathrm dS \sim \int_{{\mathbb S}^{d-1}} \frac{r_L^2}{\mathrm{vol}(L)}dS \sim \frac{\int_{{\mathbb S}^{d-1}} r_L^2 dS}{\int_{{\mathbb S}^{d-1}} r_L dS} \stackrel{\mathrm{def}}{=} g(L),$

r_{L}

$r_L$

L

$L$

\sim

$\sim$

g (L)

$g(L)$

r_{L} \geq r_{K}

$r_L \ge r_K$ dọc theo bất kỳ hướng nào. Lưu ý rằng nếu dọc theo một số hướng nhỏ hơn , thì chúng ta có thể làm cho nó lớn hơn một chút, giả sử tăng nó bằng , để làm cho nhỏ hơn. Đó là bởi vì chúng tôi tăng số liệt kê theo , ít hơn một yếu tố của mức tăng của mẫu số. Do đó, chúng ta có thể nghĩ đến việc dần dần "biến dạng" (bằng cách liên tục tăng nhẹ đối tượng và cập nhật ) để làm cho giá trị nó nhỏ hơn. Đặt là đối tượng lồi cuối cùng. Sau đó, bất kỳ điểm nào trên

r_{K}

$r_K$

g (K) / 2

$g(K)/2$

ϵ \leq g (K) / 2 - r_{K}

$\epsilon \le g(K)/2 -r_K$

g (K)

$g(K)$

(r_{L} + ϵ)^{2} - r_{L}^{2} = ϵ (2 r_{L} + ϵ)

$(r_L+\epsilon)^2 -r_L^2 = \epsilon(2r_L + \epsilon)$

g (K)

$g(K)$

K

$K$

g (\cdot)

$g(\cdot)$

g (\cdot)

$g(\cdot)$

K^{*}

$K^*$

\partial K^{*} ∖ \partial K

$\partial K^*\setminus \partial K$ ở khoảng cách từ gốc, tức là là liên kết của và một quả bóng có bán kính .

g (K^{*}) / 2

$g(K^*)/2$

K^{*}

$K^*$

K

$K$

g (K^{*}) / 2

$g(K^*)/2$

Thật vậy, hãy xem xét một đối tượng lồi khác sao cho . Sau đó, , vì nếu không, chúng ta có thể phát triển phần bên trong để làm cho nhỏ hơn. Mặt khác, , vì nếu không, bằng cùng một ý tưởng, chúng ta có thể thu nhỏ phần bên ngoài để làm cho nhỏ hơn. Vì vậy, có một giải pháp tối ưu độc đáo. $K'$ $g(K') = g(K)$ $K^*\subseteq K'$ $K'$ $K^*$ $g(K')$ $K'\subseteq K^*$ $K'\setminus K$ $K^*$ $g(K')$

— người dùng7852
nguồn

Có thể tôi đang thiếu một cái gì đó, nhưng tại sao đối tượng được tạo theo cách này lại lồi?

— mjqxxxx

@mjqxxxx Bạn nói đúng. Làm thế nào tôi nhớ điều đó ...

— user7852

Làm thế nào về ý tưởng sau: ai cũng biết rằng một đối tượng lồi có thể được xấp xỉ bởi một số ellipsoid, tức là, có một ellipsoid sao cho . Sau đó xấp xỉ với tỷ lệ xấp xỉ . Đối với mọi chứa , . Vì vậy, nếu chúng ta có thể tìm thấy ellipsoid tối ưu có chứa , thì . Tôi không biết làm thế nào để tính toán . Nhưng tôi đoán các trục của nó thẳng hàng với các trục của và tất cả các giá trị riêng của

E_{K}

$E_K$

E_{K} \subseteq K \subseteq \sqrt{d} E_{K}

$E_K\subseteq K\subseteq \sqrt{d}E_K$

f (\sqrt{d} E_{K})

$f(\sqrt{d} E_K)$

f (K)

$f(K)$

d

$d$

L

$L$

K

$K$

\sqrt{d} E_{K} \subseteq d E_{L}

$\sqrt{d}E_K \subseteq d E_L$

E

$E$

\sqrt{d} E_{K}

$\sqrt{d} E_K$

f (E) \leq d^{2} f (L)

$f(E) \le d^2 f(L)$

E

$E$

\sqrt{d} E_{K}

$\sqrt{d} E_K$

\sqrt{d} E_{K}

$\sqrt{d} E_K$ dưới một số ngưỡng được nâng lên ngưỡng đó.

— dùng7852

Tôi đồng ý rằng nếu L không bị giới hạn trong một cơ thể lồi thì đó là sự kết hợp của K và một quả bóng.

— Ashwinkumar BV

Ý tưởng sử dụng ellipsoid sẽ không cung cấp cho bạn một yếu tố bất biến. Nó có thể cung cấp tối đa một xấp xỉ . Giả thuyết của tôi là vỏ lồi của với một quả bóng có bán kính phù hợp là một xấp xỉ hệ số không đổi. Tôi không chắc làm thế nào để chứng minh hoặc bác bỏ phỏng đoán.

\sqrt{d}

$\sqrt{d}$

L

$L$

— Ashwinkumar BV

Giải pháp sau đây dựa trên giả định / phỏng đoán này [sẽ được chứng minh]:

Phỏng đoán : Kỳ vọng của hàm lồi trên nhỏ hơn lớn hơn giữa kỳ vọng vào và kỳ vọng vào . $\textrm{conv}(K\bigcup K')$ $K$ $K'$

[Chúng ta sẽ chỉ cần những điều trên cho lồi, nhưng nói chung có thể đúng] $K,K'$

Lấy ngay bất kỳ tập và áp dụng xoay cho nó tập trung vào gốc tọa độ, thu được . Bạn sẽ có , vì phép quay để lại độ dài của các phần tử của bất biếnNếu tôi đúng về phỏng đoán, . Vì với bất kỳ tối ưu nào, bạn có thể xem xét , trong đó biểu thị liên kết trên tất cả các phép quay và có , dường như tối ưu có thể được chọn là hình cầu nhỏ nhất chứa $K$ $R$ $R(K)$ $f(K)=f(R(K))$ $K$ $f(\textrm{conv}(K\bigcup R(K)))\leq f(K)$ $L$ $L'=\bigcup_R R(L)=\textrm{conv}(\bigcup_R R(L))$ $\bigcup_R$ $f(L)\geq f(L') \geq f(L)$ $L$ $K$ .

— Marco
nguồn

Sẽ đủ để chứng minh rằng cho kỳ vọng của hàm lồi. Điều đó có vẻ dễ dàng.

E_{conv (A)} \leq E_{A}

$\mathbb{E}_{\textrm{conv}(A)}\leq \mathbb{E}_{A}$

E_{K ⋃ K^{'}} \leq max {E_{K}, E_{K}^{'}}

$\mathbb{E}_{K\bigcup K'}\leq \max\{\mathbb{E}_K,\mathbb{E}_K'\}$

— Marco

Tôi không hoàn toàn chắc chắn tôi nhận được câu trả lời của bạn. Nhưng điều chắc chắn là L có thể được chọn là hình cầu nhỏ nhất chứa K. Hãy xem xét một hình trụ dài mỏng có kích thước chiều dài . Khi đó, bất kỳ hình cầu chứa nên có . Nhưng nếu bạn xây dựng trong đó U là một hình cầu hoặc bán kính khoảng bạn nhận được khoảng . (trong đó là hằng số)

d

$d$

t

$t$

S

$S$

K

$K$

f (S) \geq t

$f(S)\geq t$

L = c o n v (K \cup U)

$L=conv(K\cup U)$

c_{1} t / d

$c_1 t/d$

f (L)

$f(L)$

c_{2} t / d

$c_2 t/d$

c_{1}, c_{2}

$c_1,c_2$

— Ashwinkumar BV

Cơ thể lồi với chỉ tiêu l2 dự kiến ​​tối thiểu

Cơ thể lồi với chỉ tiêu l2 dự kiến tối thiểu