Là các mạch có kích thước đa thức cho tầm thường 3-SAT?

Giả sử chúng ta xem xét 3-SAT với biến và mệnh đề . Tôi đang nghiên cứu một phương pháp có vẻ mất thời gian / không gian để giải quyết bất kỳ vấn đề SAT nào phù hợp với mô tả này, trong một lỗi có thể được điều chỉnh thành một lượng tùy ý. Tuy nhiên, có một nhược điểm.c O ( v 2 + log c$v$$c$$O(v^{2+\log c})$

Phương pháp này yêu cầu một tập hợp các giá trị được tính toán trước, sau đó nó có thể giải quyết vấn đề 3-SAT tùy ý phù hợp với mô tả ở trên. Các giá trị được tính toán trước là một tập hợp kích thước với mỗi giá trị lấy không gian . Vấn đề thực sự là mỗi giá trị này có thể mất thời gian để tính toán. Có một cơ hội mà tôi có thể tìm ra cách để tăng tốc các tính toán này.O ( 1 ) O ( 2 v$O(v^{2+\log c})$$O(1)$$O(2^v)$

Tôi nghĩ rằng các giới hạn tự đánh bại các giới hạn trên được trình bày trong câu hỏi này (đối với nhỏ ). Vì vậy, tôi tự hỏi, có một cách tầm thường để đạt đến giới hạn trên mà tôi mô tả nếu chúng tôi cho phép tính toán trước ?O ( v 2 + log c$c$$O(v^{2+\log c})$

Tôi muốn tiếp tục nghiên cứu này và hy vọng công bố kết quả của mình nếu mọi thứ đều ổn, nhưng trước tiên tôi muốn biết liệu có một cách tầm thường để làm tốt hay tốt hơn.

CẬP NHẬT

Tôi đã nghiên cứu các vấn đề liên quan ngoài việc nghiên cứu thuật toán này. Tôi đã hỏi Câu hỏi này trên trang web Bảo mật CNTT của StackExchange liên quan đến bẻ khóa mật khẩu và SAT, nếu bạn quan tâm. Ít nhất một trong những câu trả lời phản ánh điều này.

Nếu những gì bạn đang học tập được thực hiện, nó chắc chắn sẽ không tầm thường.

Nó có nghĩa là 3SAT có các mạch (không đồng nhất) có kích thước . Sau đó, mọi ngôn ngữ trong N P (và hệ thống phân cấp thời gian đa thức) sẽ có các mạch kích thước bán cầu đa thức (tức là n O ( log c n ) ).$n^{O(\log n)}$$NP$$n^{O(\log^c n)}$

Ngay cả khi phải mất thời gian tiền xử lý để tạo ra cấu trúc dữ liệu có kích thước chỉ 2 O ( log 2 n ) , sau đó có thể trả lời đúng các truy vấn 3SAT có kích thước n trong 2 O ( log 2 n ) thời gian ngẫu nhiên với xác suất cao, 3SAT sẽ có các mạch kích thước đa thức, sử dụng các bản dịch thuật toán ngẫu nhiên đã biết cho các mạch. Điều này sẽ không cải thiện giới hạn thời gian thuật toán đã biết do tiền xử lý, nhưng nó vẫn cực kỳ thú vị vì kết quả không đồng nhất.$2^{2^n}$$2^{O(\log^2 n)}$$n$$2^{O(\log^2 n)}$

Bạn có ý nghĩa gì khi "trong một lỗi có thể được điều chỉnh thành số tiền tùy ý"? Là thuật toán ngẫu nhiên?

Tôi không biết liệu kết quả của bạn - nếu hợp lệ - sẽ là một tiến bộ không hề nhỏ, nhưng đây là một loại vấn đề bạn có thể kiểm tra nó:

Vấn đề. Sửa một hàm . Cho y ∈ { 0 , 1 } n , tìm x ∈ { 0 , 1 } n sao cho f ( x ) = y .$f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}^n$$y \in \{0,1\}^n$$x \in \{0,1\}^n$$f(x)=y$

Nếu có thể được tính toán hiệu quả (giả sử, bằng một mạch nhỏ), kết quả của bạn ngụ ý một số giải pháp cho vấn đề này.$f$

Trong thế giới mật mã, thuật toán được biết đến nhiều nhất cho vấn đề này thực hiện một phép tính toán trước (chỉ phụ thuộc vào ) yêu cầu 2 n thời gian và 2 2 n / 3 không gian, và đưa ra một số lời khuyên về kích thước 2 2 n / 3 ; sau đó, với x , nó có thể tìm thấy y trong 2 2 n / 3 lần, sử dụng chuỗi lời khuyên có kích thước 2 2 n / 3 từ tiền mã hóa. Bạn có thể điều chỉnh không gian và đánh đổi thời gian, để sử dụng chuỗi lời khuyên có kích thước $f$$2^n$$2^{2n/3}$$2^{2n/3}$$x$$y$$2^{2n/3}$$2^{2n/3}$$S$và mất thời gian , miễn là S $T$. Theo tôi biết, sự phức tạp này được cho là tốt nhất có thể, đối với các thuật toán không tính đến bất kỳ cấu trúc bên trong nào củaf. Cụ thể, nó có khả năng là tối ưu khiflà hàm băm bảo mật bằng mật mã. (Kỹ thuật này được gọi là sự đánh đổi không gian thời gian Hellman.)$S \sqrt{T} = 2^n$$f$$f$

Vì vậy, nếu kỹ thuật của bạn có thể làm tốt hơn so với sự đánh đổi không gian thời gian Hellman trên một số an toàn về mật mã , thì đó chắc chắn sẽ là tin tức.$f$