Loại hệ thống dựa trên lý thuyết tập ngây thơ

Theo tôi hiểu, trong các loại dữ liệu khoa học máy tính không dựa trên lý thuyết tập hợp vì những điều như nghịch lý của Russell, nhưng như trong các ngôn ngữ lập trình trong thế giới thực, chúng ta không thể diễn tả các loại dữ liệu phức tạp như "bộ không chứa chính nó", chúng ta có thể nói rằng trong thực tế loại là một tập hợp vô hạn của các thành viên của nó trong đó tư cách thành viên thể hiện được xác định bởi số lượng các tính năng nội tại của loại / bộ này (sự tồn tại của các thuộc tính, phương thức nhất định)? Nếu không những gì sẽ là ví dụ?

Lý do chính để tránh các tập hợp trong ngữ nghĩa của các loại là một ngôn ngữ lập trình điển hình cho phép chúng ta xác định các hàm đệ quy tùy ý. Do đó, bất kể ý nghĩa của một loại là gì, nó phải có thuộc tính điểm cố định. Bộ duy nhất có thuộc tính như vậy là bộ singleton.

Nói chính xác hơn, giá trị được xác định đệ quy loại (trong đó điển hình là là loại hàm) được xác định bởi phương trình điểm cố định trong đó có thể là bất kỳ chương trình. Nếu được hiểu là tập thì chúng ta sẽ mong muốn mọi có một điểm cố định. Nhưng bộ duy nhất có thuộc tính này là singleton.τ τ v = Φ ( v ) Φ : τ → τ τ T f : T → T $v$$\tau$$\tau$$v = \Phi(v)$$\Phi : \tau \to \tau$$\tau$$T$$f : T \to T$$T$

Tất nhiên, bạn cũng có thể nhận ra rằng thủ phạm là logic cổ điển. Nếu bạn làm việc với lý thuyết tập hợp trực giác, thì sẽ nhất quán khi cho rằng có nhiều tập hợp với thuộc tính điểm cố định. Trong thực tế, điều này đã được sử dụng để đưa ra ngữ nghĩa của ngôn ngữ lập trình, xem ví dụ

Alex Simpson, Tính đầy đủ tính toán cho các loại đệ quy trong các mô hình của lý thuyết tập hợp trực giác , trong Biên niên sử của logic thuần túy và ứng dụng, 130: 207-275, 2004.

$\pi$

Với một vài ngoại lệ (một điều mà Dave Clarke trích dẫn), ngữ nghĩa lý thuyết tập hợp đơn giản của các loại rất khó sử dụng. Lý do là sự trừu tượng hóa dữ liệu không chơi rất độc đáo với ngữ nghĩa lý thuyết tập hợp.

$\forall \alpha.\; \alpha \to \alpha$$U$

$U$$U$$X \to X$$X \in U$$\alpha$

$\forall \alpha.\; \alpha \to \alpha$