Tổng gần đúng của một danh sách được sắp xếp

Gần đây, tôi đã giải quyết vấn đề tính toán tổng gần đúng của một danh sách các số không âm được sắp xếp. Đối với bất kỳ cố định , một O ( log n ) chương trình xấp xỉ thời gian đã được bắt nguồn như vậy mà nó đưa ra một ( 1 + ε ) -approximation với tổng số tiền. Bài viết được đăng tại http://arxiv.org/abs/1112.0520 , chưa được hoàn thiện.$\epsilon>0$$O(\log n)$$(1+\epsilon)$

Tôi đã tìm kiếm các tác phẩm hiện có cho vấn đề này, nhưng tôi chỉ nhận được một vài bài báo liên quan từ xa, và trích dẫn chúng. Có phải vấn đề này đã được nghiên cứu trước đây? Nếu ai đó biết bất kỳ nghiên cứu hiện có về vấn đề này, xin vui lòng cho tôi biết. Tôi sẽ đánh giá cao sự giúp đỡ, và cập nhật các trích dẫn phù hợp. Nếu kết quả là cũ, giấy sẽ được đổ vào thùng rác.

Vấn đề này được giải quyết trong bài báo sau, trong đó các vấn đề chung hơn chủ yếu được giải quyết: http://valis.cs.uiuc.edu/~sariel/ con / 06 / integrate / .

Sau khi đọc các chi tiết bằng chứng của giấy lõi của Har-Peled , bây giờ tôi hiểu rằng phương pháp của anh ta ngụ ý thuật toán thời gian O (log n) cho tổng số xấp xỉ của các số không âm được sắp xếp. Các lõi được hình thành bởi một tập hợp con số trong danh sách được sắp xếp và vị trí của chúng chỉ phụ thuộc vào kích thước danh sách n và tỷ lệ xấp xỉ epsilon. Trọng số của tất cả các điểm trong lõi có thể tính toán được trong thời gian O (log n). Do đó, nó mang lại một thuật toán thời gian O (log n) cho tổng gần đúng của một danh sách được sắp xếp mặc dù nó không được yêu cầu rõ ràng trong bài báo. Vì thuật toán được ẩn trong bằng chứng về việc xây dựng lõi thay vì các định lý được tuyên bố trong bài báo của Har-Peled, tôi đã không thấy kết luận như vậy ngay sau khi kiểm tra kết quả trong bài báo.

Tôi đã sửa đổi bài viết của mình bằng cách xóa phần 4 có chứa thuật toán thời gian O (log n). Bài viết của Har-Peled được trích dẫn trong phiên bản cập nhật. Thuật toán đầu tiên vẫn được giữ vì nó có độ phức tạp không thể so sánh được với thời gian O (log n). Ví dụ, nó chạy trong thời gian O (log log n) khi các số trong danh sách được sắp xếp đầu vào nằm trong phạm vi từ 0 đến (log n) ^ {O (1)}. Thuật toán dựa trên tìm kiếm khu vực bậc hai, khác rất nhiều so với việc xây dựng lõi. Giới hạn thời gian thấp hơn cũng được giữ, nhưng sửa đổi một chút.

Bây giờ tôi có một ý tưởng tốt hơn về các tác phẩm trong dòng này. Tôi thực sự đánh giá cao sự giúp đỡ chuyên nghiệp từ các đồng nghiệp khoa học máy tính lý thuyết tại trang web này, nơi cung cấp một phản hồi tuyệt vời. Bài viết sửa đổi của tôi sẽ có sẵn trong cùng một trang lưu trữ trong vài ngày tới. Tôi chân thành hoan nghênh ý kiến ​​thêm về các tài liệu tham khảo liên quan có thể bị bỏ lỡ.

Bin Fu

$\mathcal{O}(\log n)$$\mathcal{O}(\log n)$

$\varepsilon > 0$$0\leq a_1 \leq a_2 \leq \dots \leq a_n$

$\qquad a_n, \frac{a_n}{1+\varepsilon}, \frac{a_n}{(1+\varepsilon)^2}, \dots , \frac{a_n}{(1+\varepsilon)^k}$

$k \in \mathcal{O}\left(\frac{\log n}{\varepsilon}\right)$

$\mathcal{O}(\log n)$$\mathcal{O}(\log n)$$\mathcal{O}(\log n)$

$\mathcal{O}(\log n)$$a_n \cdot (1+\varepsilon)^{-j}$$a_n \cdot (1+\varepsilon)^{-j}$$a_n \cdot (1+\varepsilon)^{-(j+1)}$$\mathcal{O}((\log n)^2)$