DFA tối thiểu đáp ứng một cái nhìn hữu hạn về ngôn ngữ

Giả sử ta có một ngôn ngữ , nhưng người ta không biết khái niệm về chuỗi thực sự là một phần của ngôn ngữ. Tất cả người ta là một cái nhìn hữu hạn của ngôn ngữ: một tập hữu hạn các chuỗi Một ⊆ L được biết đến là trong ngôn ngữ, và một tập hữu hạn các chuỗi B ⊆ ( Σ * ∖ L $L \subseteq \Sigma^*$$A \subseteq L$$B \subseteq (\Sigma^* \setminus L)$ mà được biết là không có trong ngôn ngữ.

Ví dụ: giả sử tôi có và B = { b , a a b , a a a b a } . Tôi có thể có ngôn ngữ L = { a 2 i + 1 b j | i , j ∈ N } , vì $A = \{ab, aaab, aaaaabb\}$$B = \{b, aab, aaaba\}$$L = \{a^{2i+1}b^j~|~i, j \in \mathbb{N} \}$$A$và phù hợp với L , hoặc tôi có thể có một ngôn ngữ hoàn toàn khác.$B$$L$

Câu hỏi của tôi là: có cách nào để tạo DFA (automata hữu hạn xác định) chấp nhận các chuỗi trong và từ chối các chuỗi trong B , với số lượng trạng thái tối thiểu hoặc gần như tối thiểu? Sự phức tạp của vấn đề này là gì? Làm thế nào là tốt khi xấp xỉ L (giả sử L có độ phức tạp mô tả khá thấp, và A và B là lớn)?$A$$B$$L$$L$$A$$B$

Câu hỏi gốc trên math.stackexchange.com. Tôi quyết định đăng lại ở đây sau khi không nhận được câu trả lời cho câu hỏi ban đầu và không biết tìm chúng ở đâu. Nếu ai đó có thể chỉ cho tôi nghiên cứu trong lĩnh vực này, nó sẽ được đánh giá rất cao.

Như bạn đã biết từ các ý kiến, việc tìm kiếm DFA tối thiểu thỏa mãn một tập hợp hữu hạn các ví dụ tích cực và tiêu cực là -hard. Tuy nhiên, không phải tất cả niềm hy vọng bị mất, nếu bạn sẵn sàng để thay đổi mô hình học tập của bạn một chút thì chúng ta có thể lấy lại vào P .$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

Giả sử rằng bạn đang cố gắng tìm hiểu một một DFA chưa biết mà là tối thiểu đối với một số ngôn ngữ L W . Nếu bạn cho phép các truy vấn thành viên tiên tri và hành động như một giáo viên bằng cách trả lời câu hỏi sau: Đưa ra một DFA G được đề xuất, nó sẽ nhận ra L $W$$L_W$$G$$L_W$ không? Nếu không, bạn có thể cung cấp một ví dụ phản tác dụng?

Lưu ý rằng nếu nhà tiên tri có quyền truy cập vào nó có thể so sánh G với W trong nhiều thời gian, vì việc kiểm tra sự bình đẳng giữa các ngôn ngữ thông thường là dễ dàng. Tạo một ví dụ ngược cũng có thể được thực hiện trong thời gian đa thức.$W$$G$$W$

Trong khung này, bạn có thể học trong thời gian đa thức bằng thuật toán Angluin ( 1987 ; pdf ) (hoặc sàng lọc của Schapire về nó; xem phần 5.4.5). Để biết thêm thông tin về mô hình này, đây là hai câu hỏi về cstheory và CS.SE về nó:$W$

• Giới hạn thấp hơn cho việc học trong mô hình truy vấn thành viên và mẫu phản

• Có những cải tiến về thuật toán của Dana Angluin để học các bộ thông thường

Dường như với tôi rằng bạn có thể sử dụng một sàng lọc tương đương Myhill-Nerode cho vấn đề này.

Chúng ta có thể xác định nếu có tồn tại x ∈ Σ mà u x ∈ A và v x ∈ B . Điều này có nghĩa là bất kỳ máy tự động nào tách A khỏi B phải ở các trạng thái khác nhau sau khi đọc u và v .$u\nsim v$$x\in\Sigma$$ux\in A$$vx\in B$$A$$B$$u$$v$

Nó cũng đủ để nghiên cứu mối quan hệ này trên các tiền tố của các yếu tố của và B . Điều này sẽ cung cấp cho bạn một giới hạn thấp hơn về số lượng trạng thái bạn cần. Tôi không chắc nó trực tiếp cung cấp cho bạn cách xây dựng máy tự động tối thiểu, nhưng ít nhất đó là một con đường để khám phá.$A$$B$

Tôi nghĩ rằng vấn đề này có thể đã được đặt ra một cách không chính xác bởi người hỏi. Người hỏi rõ ràng muốn một thuật toán khái quát các từ vô hạn dựa trên các ví dụ từ hữu hạn cụ thể, sử dụng một số loại cảm ứng cơ giới hóa, tức là nhận ra các mẫu rõ ràng trong các ví dụ.

Ngoài một số nghiên cứu lý thuyết CS được trích dẫn trong các bình luận, còn có một số nghiên cứu thực nghiệm hơn trong lĩnh vực này, ví dụ như dưới đây, sử dụng ANN để tạo ra các FSM từ các ví dụ. Lưu ý người ta luôn có thể chạy thuật toán tối thiểu hóa DFA tiêu chuẩn trên kết quả. Thư viện FSM của AT & T phù hợp cho công việc trong lĩnh vực này.

Người hỏi không cụ thể về miền vấn đề của mình, điều đó có thể giúp hiểu cấu trúc của các ví dụ và nhận được các tài liệu tham khảo cụ thể hơn. Tuy nhiên, một ví dụ có thể thấy là thuật toán AI trong các trò chơi sử dụng thuật toán FSM. Tôi nghi ngờ có một số trường hợp các FSM được học từ các ví dụ sử dụng thuật toán học tập.

[1] Học một lớp máy trạng thái hữu hạn lớn với mạng lưới thần kinh tái phát C. Lee Giles, 1, BG Horne, T. Lin 1995

[2] Học các FSM với các mạng tái phát tự phân cụm theo Zeng & Smyth 1993

[3] Thư viện FSM của AT & T