Tìm khoảng cách ngắn nhất theo chiều ngang của các điểm trong o (n log n)?

Bài tập sau đây đã được trao cho các sinh viên mà tôi giám sát:

Cho $n$ điểm trong mặt phẳng, nghĩ ra thuật toán tìm một cặp điểm có khoảng cách là tối thiểu trong số tất cả các cặp điểm. Thuật toán sẽ chạy trong thời gian $o(n^2)$ .

Có một (tương đối) đơn giản thuật toán chia để trị mà giải quyết được nhiệm vụ trong thời gian $\Theta(n \log n)$ .

Câu hỏi 1 : Có thuật toán nào giải quyết chính xác vấn đề đã cho trong trường hợp xấu nhất $\mathcal{o}(n \log n)$ không?

Điều khiến tôi nghi ngờ rằng điều này có thể là có thể là kết quả mà tôi nhớ đã thấy trong một số cuộc nói chuyện (tham khảo đánh giá cao). Nó nói cái gì đó dọc theo dòng mà không quá một hằng số $c \in \mathbb{N}$ điểm có thể được sắp xếp trong mặt phẳng xung quanh một số điểm $p$ bên trong một vòng tròn bán kính $r \in \mathbb{R}$ , với $r$ là khoảng cách tối thiểu giữa bất kỳ hai trong số những điểm tham gia . Tôi nghĩ $c=7$ , các điểm tạo thành một hình lục giác đều có $p$ ở tâm (trong trường hợp cực trị).

Trong trường hợp đó, thuật toán sau sẽ giải quyết vấn đề theo $n$ bước.

fun mindist [] | p::[] = INFINITY
|   mindist p1::p1::[] = dist(P[0], P[1])
|   mindist p::r = let m = mindist(r) in
                     min(m, nextNeighbour(p, r, m))
                   end

Lưu ý rằng điều này (tự xưng là) trong thời gian tuyến tính bởi vì chỉ có một hằng số điểm trong rthể có farer xa hơn mtừ p(giả sử ở trên tuyên bố); chỉ những điểm này phải được điều tra để tìm ra mức tối thiểu mới. Có một nắm bắt, tất nhiên; Làm thế nào để bạn thực hiện nextNeighbour(có thể với tiền xử lý trong thời gian tuyến tính)?

Câu hỏi 2 : Hãy để một tập hợp các điểm và một điểm p ∉ R . Cho m ∈ R với$R$$p \notin R$$m \in \mathbb{R}$

$\qquad m \leq \min\{\mathrm{dist}(p_1, p_2) \mid p_1, p_2 \in R\}$

và

$\qquad R_{p,m} := \{p' \mid p' \in R \wedge \mathrm{dist}(p, p') \leq m\}$ .

Giả sử là hữu hạn. Có thể tìm thấy với khoảng cách tối thiểu từ trong thời gian (khấu hao) không? (Bạn có thể giả sử được xây dựng bằng cách thêm từng điểm đã điều tra .) p ' ∈ R p , m p O ( 1 ) R $R_{p,m}$$p' \in R_{p,m}$$p$$\mathcal{O}(1)$$R$$p$

Không thể giải quyết vấn đề trong thời gian ít hơn trong các mô hình chuẩn, ví dụ: sử dụng cây quyết định đại số. Điều này xuất phát từ công việc của Yao và Ben-Or cho thấy rằng trong mô hình này, không thể quyết định liệu một tập hợp số đầu vào có khác nhau hay không (xem http://people.bath.ac.uk/masnnv /Teaching/AAlg11_8.pdf ). Trong trường hợp vấn đề của bạn, hãy tưởng tượng rằng tất cả chúng đều nằm trên đường thẳng thực sự. Nếu hai điểm giống nhau, thì đầu ra của bạn sẽ là hai điểm có khoảng cách bằng 0, trong khi nếu không thì giải pháp cho vấn đề của bạn cũng sẽ giải quyết vấn đề SỐ DISTINCT. Nếu bạn muốn giả sử rằng tất cả các điểm của bạn đều khác nhau, thì chỉ cần thêm vàon i ϵ x i n ϵ 2 n ϵ Ω ( n log n $cn\log n$$n$$i\epsilon$$x_i$đầu vào của vấn đề SỐ DISTINCT, trong trường hợp này nếu đầu ra của bạn nhiều nhất là , thì các số đó không phải là tất cả. (Mặc dù trong trường hợp này, bạn phải sử dụng phiên bản hứa hẹn với sự khác biệt của hai số khác biệt ít nhất là , nhưng tôi nghĩ rằng bằng chứng tương tự cũng có tác dụng cho thấy bạn cũng cần trong điều này trường hợp.)$n\epsilon$$2n\epsilon$$\Omega(n\log n)$

Có một thuật toán thời gian dự kiến ​​tuyến tính ngẫu nhiên của Rabin; xem ví dụ Rabin lật một đồng xu trên blog của Lipton.

Theo như tôi hiểu câu hỏi 2, thuật toán của Rabin cũng cung cấp một loại câu trả lời cho câu hỏi đó. Ở mỗi bước, cấu trúc dữ liệu là một lưới có chiều rộng ô nhỏ hơn khoảng cách nhỏ nhất giữa các cặp điểm được nhìn thấy cho đến nay, chia cho (để không có ô nào chứa nhiều hơn một điểm). Để trả lời truy vấn trong câu hỏi 2, bạn chỉ cần ánh xạ tới một ô trong lưới và xem xét một số lượng ô không đổi xung quanh nó. Bằng cách phân tích thuật toán, nếu tập hợp điểm đầu vào được kiểm tra theo thứ tự ngẫu nhiên, hơn thời gian cập nhật được khấu hao cho lưới là cho mỗi điểm mới trong kỳ vọng. pO(1$\sqrt{2}$$p$$O(1)$