Sự khác biệt giữa các mệnh đề và phán đoán là gì?

Tôi bị lẫn lộn bởi sự khác biệt tinh tế giữa các mệnh đề và phán đoán khi tiếp xúc với lý thuyết loại trực giác. Có ai có thể giải thích cho tôi đâu là điểm để phân biệt chúng và điều gì phân biệt chúng? Đặc biệt là theo quan điểm của Curry-Howard Isomorphsim.

Trước tiên, bạn nên biết rằng, nói chung, không có sự đồng thuận về các điều khoản này và định nghĩa của chúng phụ thuộc vào hệ thống mà một người đang làm việc. Vì vậy, bạn đã hỏi về lý thuyết loại trực giác, tôi sẽ trích dẫn Pfenning:

Một phán đoán là một cái gì đó chúng ta có thể biết, đó là một đối tượng của kiến ​​thức. Một bản án là hiển nhiên nếu chúng ta thực sự biết điều đó.

Mặt khác, các đề xuất, theo Martin-Löf là các bộ bằng chứng. Trong cách giải thích này, nếu tập hợp các bằng chứng cho một mệnh đề trống thì nó là sai và ngược lại là đúng.

Một mệnh đề được hiểu là một tập hợp có các phần tử đại diện cho các bằng chứng của mệnh đề

Nordström et al. Mặt khác, trong logic cổ điển và nói chung, các mệnh đề là các đối tượng được thể hiện bằng một ngôn ngữ có thể là "đúng" hoặc "sai".

Để cung cấp cho bạn một số trực giác thêm; theo quan điểm của tôi, các phán đoán là kim loại và các mệnh đề logic.

Tôi đề nghị "Logic xây dựng" của Frank Pfenning , "Bằng chứng và loại" của Jean-Yves Girard và "Lập trình trong lý thuyết loại của Martin-Löf" của Bengt Nordström et al. Cả ba đều có sẵn miễn phí trên Internet. Cái cuối cùng có lẽ là gần nhất với những gì bạn muốn vì nó được định hướng để lập trình và đi sâu vào chi tiết, về ý nghĩa của các thuật ngữ này và nhiều hơn nữa.

Có lẽ tôi có thể thử đưa ra một câu trả lời ít siêu hình hơn.

Có một ngôn ngữ, một ngôn ngữ logic, mà chúng ta đang nghiên cứu. Trong ngôn ngữ này, có những thứ gọi là "mệnh đề" được cho là những thứ đúng hoặc sai.

Có một ngôn ngữ meta, cũng là một ngôn ngữ logic, trong đó chúng tôi đang cố gắng giải thích những điều trong ngôn ngữ cơ sở là đúng hay sai. Các tuyên bố chúng tôi đưa ra trong ngôn ngữ meta này được gọi là "phán đoán".

Lưu ý rằng tất cả các đề xuất của ngôn ngữ cơ sở có trạng thái dữ liệu trong ngôn ngữ meta. Họ là tốt như chuỗi. Bạn không thể hỏi một chuỗi cho dù đó là đúng hay sai. Phán quyết là trình thông dịch diễn giải chuỗi là một mệnh đề và quyết định xem nó đúng hay sai.

Tôi sẽ cố gắng ngắn gọn trong đó các câu trả lời khác đầy đủ hơn. Có một sự khác biệt giữa một đoạn văn bản có nội dung "Người quản gia đã làm điều đó". và bà Marple tuyên bố "Người quản gia đã làm việc đó". Trong trường hợp thứ hai, người quản gia có thể mất tự do.

Trong các lý thuyết loại của Martin-Löf , các phán đoán là một phần của hành vi lời nói . Có bốn (hoặc năm theo Wikipedia) phán quyết:

• ( A là loại / bộ / mệnh đề),$A \ \mathsf{Type}$$A$
• ( s là thành viên / bằng chứng của A ),$s : A$$s$$A$
• $s=t : A$ ( và t là thành viên / bằng chứng của A ) bằng nhau ,$s$$t$$A$
• ( A và B là các loại / bộ / mệnh đề bằng nhau),$A=B$$A$$B$
• ( Γ là tốt được hình thành bối cảnh).$\Gamma \ \mathsf{Context}$$\Gamma$

Để hiểu điều này có nghĩa là chúng ta phải quay trở lại Frege. Biểu tượng turnstile Frege là một giọng nói hành động. Nó khẳng định các nội dung (mà sau nó và là một phán xét). Trong các lý thuyết loại của Martin-Löf, chúng ta có bốn phán đoán (năm?) Được liệt kê ở trên. Trong các lý thuyết này, các mệnh đề chỉ là các loại.$\vdash$

Hãy giả sử rằng là một mệnh đề. Thì A là một loại. Giả sử rằng t là một thuật ngữ của loại Một . Sau đó t : A là một phán đoán (bạn có thể nghĩ về nó như là $A$$A$$t$$A$$t : A$$t$ là bằng chứng của ). Bây giờ chúng ta có thể khẳng định đó là trường hợp, trong trường hợp này chúng tôi sử dụng ⊢ t : Một .$A$$\vdash t:A$

Tôi sẽ thêm "Cơ sở toán học xây dựng" của Michael Beeson vào các gợi ý trong câu trả lời của Anthony. Martin-Löf đã đưa ra một số cuộc nói chuyện giải thích lý thuyết của ông rất độc đáo nhưng thật không may, hầu hết trong số họ đã không được ông chuyển thành hình thức xuất bản (nhưng hãy kiểm tra trang web này ).

Phán quyết là thành phần của hai điều:

1. Một đề xuất $P$
2. $\cal A$ - đây là những gì các nhà triết học gọi nó, xem báo cáo thái độ mệnh đề ràng buộc thái độ mệnh đề đối với các hành vi lời nói mà Kaveh nói về;

${\cal A} [P]$

$[P]$$[P]$$[T]$$H_1, \dots, H_n \vdash A_1, \dots, A_n$, trong đó một số logic có những phán đoán như vậy không tương đương tầm thường với bất kỳ đề xuất nào của ngôn ngữ logic. Vì vậy, các loại mệnh đề khác nhau được nhìn thấy trong logic cổ điển khá cơ bản.

Lý thuyết loại của Martin-Löf tập trung vào một nhóm phán đoán phức tạp hơn vì ba lý do: Thứ nhất, nó được đánh máy một cách phụ thuộc, có nghĩa là các mệnh đề xảy ra như các thực thể cú pháp trong các thuật ngữ. Thứ hai, ông đã sử dụng một ngữ pháp để xác định chuỗi ký hiệu nào là các thuật ngữ và mệnh đề hợp lệ, nhưng đã sử dụng hệ thống suy luận để làm điều đó - một điều hợp lý để làm vì các mệnh đề trong các lý thuyết được gõ như vậy thường không có ngữ cảnh. Thứ ba, ông đã nghĩ ra một lý thuyết mới về bình đẳng, thường được gọi là bình đẳng mệnh đề, thúc đẩy lý thuyết beta-eta (hoặc trong một số biến thể, chỉ là lý thuyết beta) và các phán đoán mà hai thuật ngữ có chung dạng bình thường được thể hiện bằng cách sử dụng các phán đoán biểu thị sự tương đương beta / eta của hai thuật ngữ - một lần nữa hợp lý,

Các phán đoán thể hiện tính tương đương beta / eta có thể được loại bỏ mà không gặp quá nhiều khó khăn - làm cơ sở cho quy tắc giới thiệu cho sự bình đẳng mệnh đề là hai thuật ngữ tương đương beta (tương đương beta-eta có chút vấn đề hơn) - nhưng loại bỏ phán đoán các thuật ngữ cư trú là khó khăn hơn nhiều; cách tồi tệ nhất mà tôi có thể nghĩ ra để làm điều này là tái cấu trúc suy luận kiểu trong thuật ngữ ngữ, dẫn đến một lý thuyết tổng thể phức tạp hơn và ít trực quan hơn.

Khiếu nại, mệnh đề và tuyên bố đều giống nhau; nhưng jugement là một đề xuất đã được xác minh (dù đúng hay sai), tán thành hay được sử dụng như một kết luận. Không cần các công thức ưa thích như các câu trả lời ở trên dường như lạm dụng ...