Định lý của Ladner so với Định lý Schaefer

Trong khi đọc bài viết "Đã đến lúc tuyên bố chiến thắng trong việc đếm độ phức tạp?" tại blog "Thư bị mất của Godel và P = NP" , họ đã đề cập đến sự phân đôi cho CSP. Sau một số liên kết sau, googling và wikipinating, tôi đã đi qua Định lý của Ladner :

Định lý Ladner của: Nếu , sau đó có vấn đề trong N P ∖ P mà không phải là N P -complete.${\bf P} \ne {\bf NP}$${\bf NP} \setminus {\bf P}$${\bf NP}$

và theo định lý Schaefer :

Phân đôi lý Schaefer: Đối với mọi ngôn ngữ hạn chế Γ trên { 0 , 1 } , nếu Γ là Schaefer sau đó C S P ( Γ ) là đa thức thời gian giải quyết được. Nếu không, C S P ( Γ ) là N P -complete.$\ \Gamma$$\{0, 1\}$$\ \Gamma$${\bf CSP}(\Gamma)$${\bf CSP}(\Gamma)$${\bf NP}$

Tôi đọc điều này có nghĩa là, bởi Ladner, có những vấn đề không phải là hay N P -complete, nhưng bởi Schaefer's, các vấn đề chỉ là P và N P -complete.${\bf P}$${\bf NP}$${\bf P}$${\bf NP}$

Tôi đang thiếu gì? Tại sao hai kết quả này không mâu thuẫn với nhau?

Tôi lấy phiên bản cô đọng của các phát biểu định lý trên từ đây . Trong phần "Bình luận cuối cùng", ông nói "Như vậy, nếu một vấn đề là ở nhưng nó không phải là N P -complete sau đó nó không thể được xây dựng như CSP".${\bf NP} \setminus {\bf P}$${\bf NP}$

Điều này có nghĩa là các vấn đề bỏ lỡ một số trường hợp trong N P ? Làm thế nào là có thể?${\bf SAT}$${\bf NP}$

Như Massimo Lauria khẳng định, vấn đề của CSP hình thức ( ) là khá đặc biệt. Vì vậy, không có mâu thuẫn.$\Gamma$

Bất kỳ trường hợp vấn đề thỏa mãn ràng buộc nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng một cặp của các cấu trúc quan hệ S và T , và người ta phải quyết định xem có tồn tại cấu trúc đồng cấu cấu trúc quan hệ từ nguồn S đến mục tiêu $(S,T)$$S$$T$$S$$T$ .

CSP ( ) là một loại vấn đề thỏa mãn ràng buộc đặc biệt. Nó bao gồm tất cả các cặp của các cấu trúc quan hệ được xây dựng bằng chỉ các mối quan hệ từ Γ trong cơ cấu quan hệ mục tiêu: CSP ( Γ ) = { ( S , T ) | tất cả các mối quan hệ của  T  là từ  Γ } . Định lý Schaefer nói rằng khi Γ chỉ chứa các mối quan hệ trên { 0 , 1 } , sau đó CSP ( $\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$$\{(S,T) \mid \text{all relations of } T \text{ are from } \Gamma\}$$\Gamma$$\{0,1\}$$\Gamma$) là NP-đầy đủ hoặc trong P, nhưng không nói gì về các tập hợp CSP khác.

Như một ví dụ cực đoan, người ta có thể bắt đầu với một số CSP ( ) đó là NP-đầy đủ, và "lỗ đòn" trong ngôn ngữ. (Ladner đã làm điều này với SAT trong chứng minh của định lý của ông.) Kết quả là một tập hợp con chỉ chứa một số các trường hợp, và không còn theo hình thức CSP ( Γ ' ) cho bất kỳ Γ ' . Lặp đi lặp lại việc xây dựng mang lại một hệ thống phân cấp vô hạn các ngôn ngữ có độ cứng giảm dần, giả sử P NP.$\Gamma$$\Gamma'$$\Gamma'$

Bạn cần hiểu rằng các vấn đề có cấu trúc mà các vấn đề S A T chung không có. Tôi sẽ cho bạn một ví dụ đơn giản. Hãy Γ = { { ( 0 , 0 ) , ( 1 , 1 ) } , { ( 0 , 1 ) , ( 1 , 0 ) } $\mathsf{CSP}$$\mathbf{SAT}$$\Gamma=\{\{(0,0),(1,1)\},\{(0,1),(1,0)\}\}$. Ngôn ngữ này là như vậy mà bạn chỉ có thể thể hiện sự bình đẳng và bất bình đẳng giữa hai biến. Rõ ràng bất kỳ tập các ràng buộc như vậy là có thể giải quyết được trong thời gian đa thức.

Tôi sẽ cung cấp cho bạn hai đối số để làm rõ mối quan hệ giữa và mệnh đề. Chú ý rằng tất cả những gì sau giả định P ≠ N P .$\mathsf{CSP}$$\mathbf{P}\not=\mathbf{NP}$

Thứ nhất : các ràng buộc có một số lượng biến cố định, trong khi mã hóa các vấn đề trung gian có thể cần các mệnh đề lớn. Điều này không nhất thiết là một vấn đề khi các ràng buộc lớn như vậy có thể được thể hiện dưới dạng kết hợp của các ràng buộc nhỏ sử dụng các biến phụ trợ. Thật không may, điều này không phải lúc nào cũng đúng cho chung .$\Gamma$

Giả sử chỉ chứa O R của năm biến. Rõ ràng bạn có thể biểu thị O R của các biến ít hơn bằng cách lặp lại các đầu vào. Bạn không thể biểu thị O R lớn hơn bởi vì cách thực hiện bằng các biến mở rộng đòi hỏi phải có sự phân biệt giữa nghĩa đen và âm. Γ đại diện cho quan hệ trên các biến , không phải trên literals . Thật vậy, khi bạn nghĩ về 3- S A T như một C S $\Gamma$$\mathsf{OR}$$\mathsf{OR}$$\mathsf{OR}$$\Gamma$$\mathbf{SAT}$$\mathsf{CSP}$ bạn cần để chứa bốn quan hệ phân ly với một số nguyên liệu đầu vào đảo dấu (từ không đến ba).$\Gamma$

Thứ hai : mỗi mối quan hệ trong có thể được diễn tả như một loạt các điều khoản với (nói) ba chữ. Mỗi ràng buộc phải là một loạt các mệnh đề như vậy. Trong ví dụ với các ràng buộc đẳng thức / bất đẳng thức, bạn không thể có nhị phân A N D (tức là quan hệ ( 1 , 1 ) ) mà không thực thi nhị phân O R (tức là quan hệ ( 0 , 0 ) ) trên cùng một biến.$\Gamma$$\mathsf{AND}$${(1,1)}$$\mathsf{OR}$${(0,0)}$

Tôi hy vọng điều này minh họa cho bạn rằng các trường hợp thu được từ C S $\mathbf{SAT}$$\mathsf{CSP}$ s có một cấu trúc rất đặc biệt, được thực thi bởi bản chất của $\Gamma$ . Nếu cấu trúc quá chặt thì bạn không thể diễn đạt những vấn đề khó khăn.

Một hệ quả tất yếu của Schaefer lý là bất cứ khi nào thực thi một cấu trúc lỏng lẻo đủ để bày tỏ N P ∖ P vấn đề quyết định, sau đó cùng Γ phép đủ tự do bày tỏ chung 3 S Một T trường.$\Gamma$$\mathbf{NP\backslash P}$$\Gamma$$\mathsf{SAT}$