Hoàn thành chức năng của logic 3 giá trị

Trong bối cảnh của một số gần đây làm việc , chúng tôi đã xác định một ngôn ngữ dựa trên logic ba có giá trị à la Kleene, nơi tượng trưng cho sự thật, cho false, và cho lỗi hoặc đừng-bí quyết. Để cho thấy rằng ngôn ngữ của chúng tôi là biểu cảm, chúng tôi muốn chứng minh rằng chúng tôi có thể xây dựng một tập hợp các toán tử hoàn chỉnh về mặt chức năng. $1$ $0$ $\bot$

Nó khá khó để tìm thấy kết quả hiện có trong tài liệu. Chúng tôi đã tìm thấy một bài báo được viết vào năm 1962 bởi Jobe, trong đó nêu định lý sau:

Jobe 1962 Định lý Giấy (truy cập bị hạn chế).

Logic ba giá trị biểu thị qua tập và được xác định bởi các toán tử và , được đưa ra dưới đây, đã hoàn thành về mặt chức năng. $E$ $\{1, 2, 3\}$ $\bullet, E_1$ $E_2$

$\begin{array}{cccccc} ∙ & 3 & 2 & 1 & E_{1} & E_{2} \\ 3 & 3 & 2 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 3 \end{array}$ $\begin{array}{c|ccc|c|c} ~\bullet~ & ~3~ & ~2~ & ~1~ & ~E_1~ & ~E_2~ \\ \hline 3 & 3 & 2 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 3 \end{array}$

Trong bài báo của chúng tôi, chúng tôi đã sử dụng kết quả này bằng cách hiển thị một sự tương ứng giữa các toán tử của chúng tôi và các toán tử được xác định bởi Jobe (nói một cách đại khái, chúng tôi sử dụng kết hợp mạnh, phủ định và một toán tử biến đổi không biết sai).

Mối quan tâm chính của tôi là tôi thực sự không thể hiểu được bằng chứng về sự hoàn thiện chức năng của Jobe và chúng tôi không thể tìm thấy bất kỳ kết quả nào khác (tích cực hoặc tiêu cực) sau ngày này, điều này hơi ngạc nhiên.

Vì vậy, câu hỏi của tôi là như sau: có một số kết quả được biết đến nhiều hơn về tính đầy đủ chức năng của logic 3 giá trị? Bất kỳ thông tin theo hướng này sẽ hữu ích.

reference-request lo.logic

— Charles
nguồn

3

$3$

3

$3$

@ EmilJeřábek Cảm ơn, tôi mới đọc về Ternary Post Logic, và điều đó dường như tương ứng (mặc dù tôi cũng không thể tìm thấy nhiều về chủ đề này). Bạn có thể tham khảo về trường 3 yếu tố không? Google là một chút quá mơ hồ.

— Charles

1 + 1 + \dots + 1

$1+1+\cdots+1$

{+, \cdot, 1}

$\{+,\cdot,1\}$

Chương 5 và 6 của cuốn sách [Đại số chức năng trên các tập hữu hạn, Dietlinde Lau, 2006] chứa một cách xử lý sâu về tính hoàn thiện chức năng trong logic nhiều giá trị (bao gồm cả bằng chứng). Tóm lại: Rosenbergs [1965, 1970] mô tả đặc tính của các dòng vô tính tối đa (còn được gọi là bản sao hoàn thành trước) đưa ra một tiêu chí về tính đầy đủ chức năng trong logic giá trị k cho mọi k.

Đối với trường hợp đặc biệt của logic 3 giá trị như vậy, một đặc tính (bao gồm 18 lớp tối đa / chưa hoàn thành) đã được đưa ra bởi Jablonskij vào năm 1954. Do đó, để xác minh rằng bộ "toán tử 3 giá trị" của bạn đã hoàn thành về mặt chức năng, nó là đủ để kiểm tra xem họ không rơi vào bất kỳ lớp nào trong số 18 lớp chưa hoàn thành.

— Gustav Nordh
nguồn