Giới hạn đánh đổi cho việc đếm phạm vi Halfspace

10

Giới hạn tốt nhất hiện tại để thực hiện các truy vấn đếm phạm vi nửa không gian trên một tập hợp các điểm -chiều, được thể hiện dưới dạng một sự đánh đổi không gian / thời gian. Theo bài báo bán kết năm 1993 của Matousek (Định lý 6.2, Tìm kiếm phạm vi với các phần cắt phân cấp hiệu quả), chúng ta có thể thực hiện đếm phạm vi cho các truy vấn là giao điểm của nửa không gian , cho , sử dụng cấu trúc dữ liệu có kích thước , với , trong thời gian. Với đây là thời gian . Tuy nhiên, khảo sát của Agarwal về tìm kiếm phạm vi (Bảng 36.3.2) khẳng định ràng buộc là $d$ $p$ $1 \le p \le d+1$ $O(m)$ $n \le m \le n^d$ $O\left(\frac{n}{m^{1/d}}\log^{p-(d-p+1)/d} \left(\frac{m}{n}\right)\right)$ $p=1$ $O(n/m^{1/d})$ $O\left(\frac{n}{m^{1/d}}\log(\frac{m}{n})\right)$ . Phát biểu chính xác của ràng buộc là gì? Ngoài ra, tôi đang hiểu lầm gì? Cuối cùng, có bất kỳ thuật ngữ nhật ký ẩn nào khi không? $m=n^d$

reference-request ds.data-structures cg.comp-geom

— pkn
nguồn

6

Thời gian mạnh mẽ hơn của Matoušek là chính xác.

Bằng chứng của Định lý 6.1 ( trong phiên bản tạp chí ) sử dụng thủ thuật gián tiếp làm giảm giới hạn không gian cần thiết cho thời gian truy vấn logarit từ đến . Theo trực giác, mẹo là phân cụm các điểm thành các tập hợp con có kích thước đa hình, xây dựng cấu trúc dữ liệu không gian tuyến tính cho mỗi tập hợp con, sau đó xây dựng cấu trúc thời gian truy vấn logarit tiêu chuẩn trên các tập con. Cắm không gian được cải thiện ràng buộc vào máy móc đa cấp / trao đổi của Matoušek, được mô tả bằng tính tổng quát trong phiên bản dài hơn của cuộc khảo sát của Agarwal Hình thức của sự đánh đổi không gian thời gian của Matoušek. (Trên thực tế, thủ thuật gián tiếp chỉ là một ứng dụng rất cẩn thận của máy móc đánh đổi tiêu chuẩn.) $O(n^d)$ $O(n^d/\operatorname{polylog} n)$

— Jeffε
nguồn

Nói rõ hơn: Định lý 6.2 trong bài báo của Matousek tuyên bố rằng việc đếm nửa không gian có thể được thực hiện trong không gian , thời gian . Khi , đây là thời gian ... không có yếu tố nhật ký phụ gia không được nêu? Tôi chỉ hỏi bởi vì trong khảo sát Định lý 7 và Hệ quả 8 có một phụ gia không có trong tuyên bố của định lý Matousek.

O (m)

$O(m)$

O (n / m^{1 / d})

$O(n/m^{1/d})$

m = n^{d}

$m = n^d$

O (1)

$O(1)$

O (l o g (m / n))

$O(log (m/n))$

— pkn

Ah tôi thấy. Vâng, có một lỗi; giới hạn trên trong câu lệnh định lý quá lỏng lẻo. Bằng chứng yêu cầu ; mặt khác, tham số nguyên sẽ nhỏ hơn . Thêm thuật ngữ logairbeatic vào thời gian truy vấn cũng khắc phục vấn đề.

m \leq n^{d}

$m \le n^d$

m = O (n^{d} / \log^{d - p + 1} n)

$m = O(n^d / \log^{d-p+1} n)$

r

$r$

1

$1$

— Jeffε

2

Có một cuộc thảo luận ngắn gọn về các kết quả trong phạm vi nửa không gian tìm kiếm ngay phía trên Bảng 36.3.2 trong Khảo sát của Agarwal và một mục khác trong phần 4.3 của khảo sát này . Cái trước dường như không cung cấp nhiều chi tiết ngoài "Sự đánh đổi không gian / thời gian truy vấn cho tìm kiếm phạm vi đơn giản có thể đạt được bằng cách kết hợp cấu trúc dữ liệu thời gian truy vấn kích thước tuyến tính và logarit", nhưng cái sau dường như cung cấp khá nhiều chi tiết hơn về sự đánh đổi không gian / thời gian truy vấn. Tôi đề nghị xem phần 4.3, Định lý 7, Hệ quả 8 và các bằng chứng của chúng. Tôi chưa đọc chúng đủ chi tiết để biết nó có trả lời đầy đủ câu hỏi của bạn không, nhưng ít nhất đó là một nơi tốt để bắt đầu.

— Joe
nguồn