Lý do thực sự của những gì mà IP = PSPACE không tương đối hóa?

$O$ ${\sf coNP}^O \not\subseteq {\sf IP}^O$ ${\sf coNP}^O \subseteq {\sf PSPACE}^O$ $O$

Tuy nhiên, tôi chỉ thấy một vài người đưa ra lời giải thích "trực tiếp" cho lý do tại sao kết quả không tương đối hóa và câu trả lời thông thường là "tính toán". Khi kiểm tra bằng chứng về IP = PSPACE, câu trả lời đó không sai , nhưng nó không thỏa đáng với tôi. Có vẻ như lý do "thực" bắt nguồn từ bằng chứng cho thấy vấn đề TQBF - công thức boolean được định lượng thực sự - đã hoàn tất cho PSPACE; để chứng minh rằng, bạn cần chứng minh rằng bạn có thể mã hóa các cấu hình của máy PSPACE ở định dạng có kích thước đa thức và (đây dường như là phần không tương đối), bạn có thể mã hóa các chuyển đổi "chính xác" giữa các cấu hình theo kích thước đa thức công thức boolean - cách này sử dụng bước kiểu Cook-Levin. ${\sf IP} = {\sf PSPACE}$

Trực giác mà tôi đã phát triển là các kết quả không tương đối hóa là những kết quả được tạo ra bằng sự hài hước của Turing Machines, và bước mà TQBF được hiển thị là hoàn chỉnh cho PSPACE là nơi điều này xảy ra - và bước này có thể xảy ra Chỉ xảy ra bởi vì bạn có một công thức boolean rõ ràng để xác định.

Đây dường như là lý do cơ bản khiến IP = PSPACE không tương đối hóa; và câu thần chú trong dân gian rằng các kỹ thuật số hóa không tương đối hóa dường như là một sản phẩm phụ của điều đó: cách duy nhất để xác định một cái gì đó là nếu bạn có một công thức boolean mã hóa thứ gì đó về TM ngay từ đầu!

Có thiếu thứ gì không? Như một câu hỏi con - điều này có nghĩa là tất cả các kết quả sử dụng TQBF theo một cách nào đó cũng không tương đối hóa?

cc.complexity-theory interactive-proofs relativization

— Henry Yuen
nguồn

Bạn có thể bao gồm các cổng orory trong một công thức Boolean được định lượng, và sau đó một TQBF tương đối hóa ^ O đã hoàn thành cho PSPACE ^ O, vì vậy đây không phải là bước không tương đối.

— Emil Jeřábek hỗ trợ Monica

Xin chào Emil - bạn có thể giải thích thêm một chút không? Giả sử tôi có máy M và tôi cố gắng thực hiện cùng một bằng chứng rằng L (M) (ngôn ngữ được M chấp nhận) có thể rút gọn thành (dù có nghĩa là gì). Cuối cùng tôi sẽ phải đưa ra một công thức boolean thể hiện xem hai cấu hình C, C 'của máy tiên tri M có phải là hàng xóm hay không (đối với hai cấu hình C, C'). Làm thế nào tôi có thể đảm bảo, bất kể nhà tiên tri, công thức boolean này có kích thước hữu hạn, hãy để một mình kích thước đa thức? Ví dụ, O có thể mã hóa Bài toán dừng.

{P S P A C E}^{O}

${\sf PSPACE}^O$

T B Q F^{O}

$TBQF^O$

T B Q F^{O}

$TBQF^O$

— Henry Yuen

Tôi đoán tôi có thể đẩy lùi này hơn nữa - không Cook-Levin lý riêng của mình tương đối hóa? Vì những lý do tương tự đã đề cập ở trên, tôi không nghĩ vậy. Liệu định lý Cook-Levin có xác định tương đối hay không xác định liệu bằng chứng hoàn chỉnh PSPACE của TQBF cũng tương đối hóa hay không.

— Henry Yuen

Công thức QBF ^ O có thể, ngoài các bộ định lượng và kết nối Boolean thông thường, còn sử dụng cổng fan-in mới không giới hạn, hãy gọi nó là , có ngữ nghĩa là khi và chỉ khi chuỗi thuộc về oracle . Thể hiện bằng ngôn ngữ này rằng một cấu hình là sự kế thừa của một cấu hình khác là một bài tập đơn giản, vì bạn chỉ cần cắm nội dung của băng truy vấn orory vào . (Tôi giả sử ở đây rằng một máy PSPACE chỉ có thể thực hiện các truy vấn dài đa thức.)

f (x_{0}, \dots, x_{n})

$f(x_0,\dots,x_n)$

f (x_{0}, \dots, x_{n}) = 1

$f(x_0,\dots,x_n)=1$

x_{0} \dots x_{n}

$x_0\dots x_n$

O

$O$

f

$f$

— Emil Jeřábek hỗ trợ Monica

Tôi hiểu rồi - bạn đang nói rằng khi tương đối hóa bằng chứng về tính hoàn chỉnh của PSPACE của TQBF, bạn không chỉ tương đối hóa các máy đang chơi mà còn tương đối hóa các công thức boolean (vì vậy chúng không còn là công thức boolean theo nghĩa nghiêm ngặt ). Trong trường hợp đó, tôi có thể thấy lý do tại sao bước xác định sẽ bị hỏng. Cảm ơn! Có lẽ bạn có thể viết nó như một câu trả lời.

— Henry Yuen

Bất kỳ câu trả lời cho một câu hỏi của mẫu, " lý do thực sự mà ..." sẽ nhất thiết phải chủ quan. Tuy nhiên, đối với trường hợp cụ thể của IP = pspace, tôi nghĩ rằng một trường hợp tốt đẹp có thể được thực hiện mà arithmetization thực sự là chìa khóa, bằng cách quan sát rằng trong khi IP = pspace không tương đối hóa , nó algebrize theo nghĩa Aaronson và Wigderson . Khi họ giải thích trong bài báo của họ, khoảng nói, một bao gồm lớp phức tạp algebrizes nếu cho tất cả thầy mo và tất cả các phần mở rộng thấp độ của ${\cal C} \subseteq {\cal D}$ ${\cal C}^A \subseteq {\cal D}^{\tilde A}$ $A$ $\tilde A$ . Cụ thể, họ cho thấy rằng các phép bổ trợ PSPACE IP, mặc dù nó không tương đối hóa. $A$ $\subseteq$

Trực giác mà tôi đã phát triển là các kết quả không tương đối hóa là những kết quả được tạo ra bằng sự hài hước của máy Turing

Đây không phải là một trực giác xấu, nhưng tôi nghĩ rằng kết quả của Aaronson-Wigderson cho thấy bằng chứng IP = PSPACE chọc vào một cách khá hạn chế, và chắc chắn không phải là một cách đủ tinh vi để chứng minh P NP, vì Aaronson và Wigderson cũng cho thấy các kỹ thuật không phản ứng sẽ được yêu cầu để tách P khỏi NP. $\ne$

— Timothy Chow
nguồn

Cảm ơn đã tham khảo. Hãy để tôi xem nếu tôi hiểu điều này: những gì bạn - và bài báo Aaronson / Wigderson - dường như đang tranh luận rằng "tính toán" là một bước không tương đối yếu , và đó là một thay đổi nhỏ, tự nhiên đối với khái niệm tương đối hóa (cụ thể là, đại số tương đối) sẽ phá vỡ tính chất này. Vì phần còn lại của bằng chứng IP = PSPACE là tương đối hóa (và tôi bị thuyết phục bởi những gì Emil đã nói ở trên), điều đó có nghĩa là kết quả IP = PSPACE tự nó không tương đối yếu, đó là những gì bạn đã nói. Rất thú vị! Cảm ơn. Tôi cần một cách để chấp nhận cả hai câu trả lời :)

— Henry Yuen

Vâng, về cơ bản là đúng.

— Timothy Chow