Phần mở rộng tối thiểu của FO thu hút lớp ngôn ngữ thông thường là gì?

Bối cảnh: mối quan hệ giữa logic và automata

Định lý của Büchi nói rằng logic thứ tự đơn thứ hai trên chuỗi (MSO) nắm bắt lớp ngôn ngữ thông thường. Bằng chứng thực sự cho thấy rằng MSO tồn tại ( hoặc EMSO ) qua các chuỗi là đủ để nắm bắt các ngôn ngữ thông thường. Điều này có thể hơi ngạc nhiên, vì, trên các cấu trúc chung, MSO biểu cảm rõ ràng hơn so với . $\exists\text{MSO}$ $\exists\text{MSO}$

Câu hỏi (bản gốc) của tôi: một logic tối thiểu cho các ngôn ngữ thông thường?

Có logic nào, trên các cấu trúc chung, hoàn toàn ít biểu cảm hơn , nhưng vẫn nắm bắt được lớp ngôn ngữ thông thường khi được xem xét qua chuỗi? $\exists\text{MSO}$

Cụ thể, tôi muốn biết đoạn nào của các ngôn ngữ thông thường được FO thu thập qua các chuỗi khi được mở rộng với toán tử điểm cố định ít nhất (FO + LFP). Có vẻ như một ứng cử viên tự nhiên cho những gì tôi đang tìm kiếm (nếu nó không phải là ). $\exists\text{MSO}$

Câu trả lời đầu tiên

Theo câu trả lời của @ makoto-kanazawa , cả FO (LFP) và FO (TC) nắm bắt nhiều hơn các ngôn ngữ thông thường, trong đó TC là nhà điều hành đóng cửa liên tục của quan hệ nhị phân. Vẫn còn phải xem liệu TC có thể được thay thế bởi một toán tử khác hoặc tập hợp các toán tử theo cách mà phần mở rộng nắm bắt chính xác lớp ngôn ngữ thông thường và không có ngôn ngữ khác.

Như chúng ta biết, logic thứ nhất là không đủ, vì nó nắm bắt các ngôn ngữ không có sao, một lớp con thích hợp của các ngôn ngữ thông thường. Như một ví dụ cổ điển, ngôn ngữ Parity không thể được biểu thị bằng cách sử dụng câu FO. $\;\;=(aa)^*$

Câu hỏi cập nhật

Đây là một từ mới của câu hỏi của tôi, vẫn chưa được trả lời.

Phần mở rộng tối thiểu của logic thứ nhất sao cho FO + phần mở rộng này, khi được tiếp quản qua chuỗi, nắm bắt chính xác lớp ngôn ngữ thông thường?

Ở đây, một phần mở rộng là tối thiểu nếu nó là phần biểu cảm ít nhất (khi được sử dụng trên các cấu trúc chung) trong số tất cả các phần mở rộng nắm bắt lớp ngôn ngữ thông thường (khi được lấy qua chuỗi).

— Janoma
nguồn

Nếu tôi không nhầm,

-calculus thực sự là tương đương với MSO trên chuỗi.

μ

$\mu$

— Sylvain

@Sylvain, tham khảo nào? Tôi không biết gì về

-calculus.

μ

$\mu$

— Janoma

Nó dường như đã được chứng minh trong dx.doi.org/10.1109/LICS.1988.5137 cho cây vô hạn và trong dx.doi.org/10.1007/3-540-61604-7_60 cho sự tương đương với đoạn bisimulation-bất biến của MSO trên các cấu trúc tùy ý.

— Sylvain

Tôi đang xem bài báo thứ hai, mặc dù tôi sợ nhiều khái niệm mới đối với tôi. Cụ thể, tôi không biết về các hệ thống chuyển tiếp bisimulation-bất biến. DFA dường như là các trường hợp cụ thể của một hệ thống chuyển tiếp, nhưng tôi không biết liệu chúng có phải là bất biến không. Nếu có, điều đó sẽ trả lời một phần câu hỏi của tôi (có thể có một logic ít biểu cảm hơn cho các ngôn ngữ thông thường); nếu chúng không phải, tôi nghĩ không có gì có thể nói, vì vẫn có thể có sự tương đương khi chỉ xem xét các chuỗi.

— Janoma

a_{1} \dots a_{n}

$a_1\cdots a_n$

Σ^{*}

$\Sigma^\ast$

Σ = 2^{P r o p}

$\Sigma=2^{\mathit{Prop}}$

⟨ {1, \dots, n}, 1, {(i, i + 1) ∣ i < n}, {i ∣ p \in a_{i}}_{p \in P r o p} ⟩

$\langle\{1,\dots,n\},1,\{(i,i+1)\mid i<n\},\{i\mid p\in a_i\}_{p\in\mathit{Prop}}\rangle$

Câu trả lời:

FO (LFP) thu thập PTIME trên các cấu trúc được sắp xếp và chuỗi được cấu trúc theo thứ tự. Vì vậy, các ngôn ngữ có thể xác định bằng FO (LFP) bao gồm tất cả các ngôn ngữ thông thường và nhiều hơn nữa. http://dx.doi.org/10.1016/S0019-9958(86)80029-8

$\{ a^n b^n \mid n \geq 1 \}$

— Makoto Kanazawa
nguồn

Thông minh. Tôi không biết ý của bạn về TC ^ 1 và TC ^ 2, đó có phải là một lỗi đánh máy không? Theo như tôi biết, trong cuốn sách bạn đề cập đến ký hiệu được sử dụng là FO (TC) cho phần mở rộng của FO với đóng cửa bắc cầu và FO (DTC) cho phần mở rộng của FO với đóng cửa chuyển tiếp xác định , được định nghĩa khác nhau. Tôi đã không tìm thấy bài tập bạn đề cập, mặc dù. Vẫn còn phải xem liệu có một toán tử nào ít biểu cảm hơn TC mà vẫn cho phép nắm bắt các ngôn ngữ thông thường hay không. Tôi sẽ cập nhật câu hỏi của tôi cho phù hợp.

— Janoma

Câu trả lời này hơi muộn, nhưng người ta biết rằng người ta có thể có được tất cả và chỉ các ngôn ngữ thông thường bằng cách kết hợp một bộ định lượng nhóm tổng quát cho mỗi nhóm hữu hạn (hoặc tương đương cho mỗi nhóm đơn giản hữu hạn). Ví dụ: xem "Ngôn ngữ thông thường có thể xác định bằng định lượng Lindstrom" của Zoltan Esiky và Kim G. Larsen, tại http://www.brics.dk/RS/03/28/BRICS-RS-03-28.pdf .

Hơn nữa, điều này là tối ưu theo nghĩa là một ngôn ngữ thông thường sẽ chỉ có thể xác định được nếu các bộ lượng hóa cho mỗi nhóm phân chia cú pháp cú pháp của nó có sẵn.

— Ben Standeven
nguồn

$^r$ $^r$ $2r$ $r$

Tôi tìm thấy một số tài liệu tham khảo thêm mà bạn có thể quan tâm.

$^1$

— Makoto Kanazawa
nguồn