Máy tự động hữu hạn chấp nhận chuỗi nhị phân chia hết cho n

Tôi đang làm việc với một vấn đề được đặt ra cho một lớp và nghĩ về một câu hỏi liên quan đến những gì tôi đang làm. Có số lượng trạng thái tối thiểu mà một máy tự động hữu hạn phải có để chấp nhận các chuỗi nhị phân đại diện cho các số chia hết cho một số nguyên n không? Trong một tập hợp vấn đề trước đó, tôi có thể xây dựng một DFA chấp nhận các chuỗi nhị phân chia hết cho 3 với 3 trạng thái. Đây có phải là sự trùng hợp ngẫu nhiên, hay có điều gì đó cố hữu đối với vấn đề chung là phát hiện các chuỗi chia hết cho n gợi ý số lượng trạng thái tối thiểu?

Tôi hứa điều này sẽ không trả lời một câu hỏi bài tập về nhà cho tôi! :)

Có một công thức được biết đến cho số lượng trạng thái tối thiểu cho một máy tự động hữu hạn như vậy. Điều này phụ thuộc vào cũng như cơ số R của biểu diễn vị trí cơ bản.$n$$R$

Nếu là số nguyên tố của R , thì số trạng thái tối thiểu là n . Tuy nhiên, khi n chia sẻ một yếu tố với cơ số thì tình hình khá phức tạp. Xem Tạp chí Mathicala số 3 số 11. "Tính phân chia và độ phức tạp của nhà nước" của Klaus Sutner.$n$$R$$n$$n$

Có một bài viết khác về cùng một chủ đề: B. Alexeev, DFA tối thiểu để kiểm tra tính phân chia, J. Comput. Hệ thống. Khoa học. 69 (2004), 235 Từ243.