Tìm tam giác trong đồ thị: các cách tiếp cận khác ngoài kiểm tra tài sản?

Chúng tôi đang nghiên cứu một bài báo trình bày một số thuật toán để tìm các hình tam giác và họa tiết mạng (sơ đồ con kích thước không đổi, còn được gọi là biểu đồ) trong một thiết lập phân tán. Chúng tôi mô tả sự đánh đổi giữa số lượng tam giác trong biểu đồ và tải trọng truyền thông cần thiết. Tôi đang tìm kiếm tài liệu tham khảo để thực hiện câu hỏi này trong mô hình tập trung.

Vấn đề là gần như tất cả mọi thứ tôi tìm thấy về chủ đề này có hương vị lý thuyết cho nó đều nằm trong khuôn khổ thử nghiệm tài sản . Để minh họa sự khác biệt - hãy xem xét trường hợp đồ thị có đỉnh, bao gồm tam giác đều chia sẻ cạnh . Từ quan điểm kiểm tra tài sản, biểu đồ này rất gần với không có hình tam giác (loại bỏ cạnh quan trọng đó thực hiện công việc), trong khi nó có số lượng tam giác tuyến tính, rất nhiều theo tiêu chuẩn của chúng tôi. $n$ $n-2$ $\left(1,2\right)$

Bất kỳ tài liệu tham khảo nào sẽ được đánh giá cao.

Chỉnh sửa: Tôi chủ yếu quan tâm đến các thuật toán có thể xác định xem biểu đồ có chứa các hình tam giác một cách nhanh chóng hay không. Đối với các thuật toán liệt kê tam giác (hoặc biểu đồ con khác), thời gian chạy được giới hạn tự nhiên từ bên dưới bởi số lượng tam giác trong biểu đồ, vì thuật toán cần liệt kê tất cả, làm cho các trường hợp đó khó hơn. Từ quan điểm của một vấn đề quyết định ("không có tam giác hay không"), có nhiều hình tam giác thực sự làm cho vấn đề dễ dàng hơn, vì bạn có thể dễ dàng tìm thấy một vấn đề.

reference-request graph-theory graph-algorithms

— Shir
nguồn

Đưa ra câu trả lời của David, tôi không chắc tôi hiểu thêm những gì bạn muốn. Bạn không thích khung kiểm tra thuộc tính, nhưng bạn muốn giới hạn độ phức tạp của truy vấn? Là ví dụ bạn đưa ra trong câu hỏi là một trường hợp xấu bởi vì bạn muốn ước tính số lượng hình tam giác là tốt?

— Suresh Venkat

Đây là những gì tôi muốn - một thuật toán xác suất, truy vấn biểu đồ, và có thể và phân biệt giữa các biểu đồ có nhiều hình tam giác với biểu đồ không có. Xem ví dụ dl.acm.org/citation.cfm?id=1873611 của Gonen, Ron và Shavit. Tuy nhiên, trong bài báo của họ, truy vấn bị hạn chế (ví dụ: nếu tôi hiểu chính xác, các truy vấn cạnh không được phép, trừ khi được lấy mẫu từ một phân phối thống nhất).

— Shir

Vì vậy, bạn muốn một thuật toán tuyến tính ước tính số lượng tam giác?

— Suresh Venkat

Một số quan sát đơn giản: giả sử bạn có hình tam giác T và bạn được phép ngẫu nhiên; sau đó bạn có thể lấy mẫu: (1) một cạnh và bạn sẽ đạt được một tam giác với xác suất ít nhất ~ T ^ {2/3} / m vì số cạnh tối thiểu bạn có thể có trong biểu đồ có tam giác T là ~ T ^ {2/3}; một khi bạn có một cạnh, bạn có thể kiểm tra xem nó có nằm trong một tam giác theo n bước không, vì vậy bạn sẽ có được thuật toán thời gian chạy dự kiến ~ mn / T ^ {2/3}; (2) bạn có thể chọn một bộ ba đỉnh ngẫu nhiên và với xác suất T / n ^ 3 nó sẽ là một hình tam giác nên điều này mang lại cho bạn thời gian chạy là ~ n ^ 3 / T. Bạn cũng có thể làm một số điều phức tạp hơn một chút. Không giúp đỡ à?

— virgi

Ồ, và cũng vậy, bất kỳ thuật toán nào có thể phát hiện xem một đồ thị đã cho có chứa một tam giác trong thời gian ~ n ^ {3-eps} có thể được chuyển đổi thành một ma trận có thể nhân các ma trận Boolean trong thời gian ~ n ^ {3-eps / 3} không Vì vậy, các thuật toán phát hiện tam giác đơn giản rất hay cũng được quan tâm vì lý do này, mặc dù tất nhiên các trường hợp khó là khi bạn cần phân biệt giữa các trường hợp 0 hoặc 1 tam giác, và trong trường hợp này chúng ta không biết gì hơn là tính toán khối lập phương của ma trận kề.

— virgi

Câu trả lời:

Để biết một số tài liệu tham khảo cho vấn đề kiểm tra sự tồn tại của một hình tam giác (chính xác, không phải trong khung kiểm tra thuộc tính), hãy xem biểu đồ không có hình tam giác trên Wikipedia. Cụ thể Alon, Yuster và Zwick (ESA'94) đưa ra thuật toán O (m ^ {1.41}) và nó cũng có thể được thực hiện trong thời gian nhân ma trận nhanh, tốt hơn cho các đồ thị dày đặc.

Nếu bạn ổn với một cái gì đó trong cài đặt thuật toán đồ thị động, tôi cũng có một cái để đếm các hình tam giác:

Chỉ số h của đồ thị và ứng dụng của nó vào thống kê sơ đồ động, D. Eppstein và ES Spiro, arXiv: 0904.3741 và WADS 2009.

Trong bài báo của chúng tôi, chúng tôi đã trích dẫn Chiba và Nishizeki (SICOMP 1985) và Itai và Rodeh (SICOMP 1978) cho các sự kiện thuật toán tĩnh cơ bản mà một đồ thị có m cạnh có thể có nhiều nhất các tam giác O (m ^ {3/2}) trong trường hợp xấu nhất và chúng có thể được liệt kê trong khoảng thời gian đó.

— David Eppstein
nguồn

Cảm ơn đã trả lời nhanh chóng. Bây giờ tôi thấy rằng tôi không rõ ràng trong câu hỏi của mình về chính xác những gì chúng ta đang tìm kiếm. Tôi tự nhiên thấy các tài liệu tham khảo trong Wikipedia, nhưng chúng không phù hợp lắm, vì tôi đang tìm kiếm thứ gì đó trong miền phức tạp truy vấn hoặc thời gian chạy cho một số thuật toán xác suất. Tôi sẽ chỉnh sửa câu hỏi để phản ánh điều đó. Vì vậy, bỏ phiếu cho câu trả lời, nhưng tôi sẽ không chấp nhận nó, vì tôi vẫn đang tìm kiếm một câu trả lời. :)

— Shir

$\Omega(n^2)$ $n$ $O(n^2)$

Nếu bạn muốn xem tại sao, hãy xem xét họ đồ thị sau:

$G_{0}$ $v$ $X$ $Y$ $(n - 1)/2$ $X$ $v$ $Y$ $v$

$i \in X$ $j \in Y$ $G_{ij}$ $G_0$ $ij$

$G_0$ $G_{ij}$ $G_0$ $G_{ij}$ $i$ $j$ $(n - 1)^2/4$

— Artem Kaznatcheev
nguồn

Độ phức tạp của truy vấn WRT, xem thêm "Thuật toán lượng tử cho bài toán tam giác", Magniez, Santha và Szegedy, SODA'05 và arXiv: quant-ph / 0310134.

— David Eppstein

Ví dụ của bạn chỉ cho thấy rằng đối với trường hợp một tam giác đơn (tôi đoán nó dễ dàng khái quát hóa thành O (1)), thì nó không đặc trưng cho sự đánh đổi giữa số lượng tam giác và xác suất đánh một hoặc một gợi ý về một chiến lược lấy mẫu tốt.

— Shir

Θ (n^{2})

$\Theta(n^2)$

Ω (n)

$\Omega(n)$

Ω (\sqrt{N})

$\Omega(\sqrt{N})$

n

$n$

1 - 1 / \sqrt{n}

$1-1/\sqrt{n}$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

Tôi không hiểu chính xác câu hỏi của bạn về mục tiêu cuối cùng của bạn. Tuy nhiên, bạn có thể xem xét phiên bản FPT của vấn đề đóng gói hình tam giác, nếu điều đó giúp ích cho vấn đề của bạn. Cụ thể, bạn có thể xem xét Đóng gói tam giác phân tách cạnh (EDTP) hoặc Đóng gói tam giác tách rời (VDTP) và nhân hóa thể hiện của đồ thị thành O (k) hoặc O (k ^ 2) tương ứng về số lượng đỉnh. Bạn cũng có thể nhân với số lượng hình tam giác [O (k ^ 3)]. Sau khi nhân, sẽ dễ dàng hơn để phân tích các hình tam giác trong thể hiện biểu đồ.

— Nikhil
nguồn