Fourier so với Laplace

Giả sử tôi có một mạng RLC trong hộp đen và tôi đập mạnh vào phòng thí nghiệm để nhận được phản hồi thúc đẩy. Bây giờ tôi có hai tùy chọn, tôi có thể thực hiện biến đổi Fourier hoặc tôi có thể thực hiện biến đổi Laplace để có được đáp ứng tần số. Làm thế nào để tôi biết nên chọn cái nào và sự khác biệt vật lý giữa mỗi cái là gì?

Tôi đã được thông báo rằng biến đổi Laplace cũng cung cấp cho bạn phản ứng nhất thời hoặc phân rã trong khi biến đổi Fourier thì không. Điều này có đúng không? Nếu tôi đột nhiên áp dụng tín hiệu hình sin ở đầu vào, thì sẽ có phản hồi nhất thời trong một khoảng thời gian ngắn mà đầu ra không phải là hình sin cho đến khi hệ thống ổn định. Ai đó có thể cho tôi một ví dụ thực tế về mặt mạng RLC để cho thấy điều này đúng như thế nào không?

Ngoài ra, thường trong lớp mạch, chúng tôi lấy biến đổi Laplace của mạch trong đó phần thực của được coi là bằng 0, vì vậy khi chúng tôi sử dụng để biểu thị Biến đổi Laplace của tụ điện, người ta cho rằng điều này tương đương với . Tôi tin rằng phần thực bằng 0 vì dòng điện qua tụ là 90 độ lệch pha với điện áp trên - điều này có đúng không? Tôi nghĩ biến đổi Fourier giống như biến đổi Laplace với . Tuy nhiên, điều đó dường như không đúng - hãy xem xét :$s = \sigma + j\omega$$\frac{1}{Cs}$ σ=0x(t)=u(t$\frac{1}{j\omega C}$$\sigma = 0$$x(t) = u(t)$

Chúng ta có thể thấy rằng ngay cả khi tôi thay thế mà không có phần thực ở đầu ra của biến đổi Laplace, chúng vẫn không bằng nhau. Làm thế nào mà biến đổi Fourier có thêm một thành phần xung nhưng Laplace thì không? Khi nào tôi có thể thay thế và mong muốn biến đổi Fourier bằng với biến đổi Laplace?$s = j \omega$$s = j\omega$

Chỉnh sửa: phần sau của câu hỏi của tôi có câu trả lời ở đây và đây .

Biến đổi Fourier và Laplace không giống nhau. Trước hết, lưu ý rằng khi chúng ta nói về biến đổi Laplace, chúng tôi rất thường xuyên có nghĩa là Laplace đơn phương thay đổi, nơi tích chuyển đổi bắt đầu từ (và không phải ở t = - ∞ ), tức là với biến đổi Laplace chúng ta thường phân tích tín hiệu nhân quả và hệ thống. Với biến đổi Fourier, điều này không phải lúc nào cũng đúng.$t=0$$t=-\infty$

Để hiểu được sự khác biệt giữa hai loại, điều quan trọng là phải xem xét khu vực hội tụ (ROC) của biến đổi Laplace. Đối với tín hiệu nhân quả, ROC luôn là một chiếc máy bay phải rưỡi, tức là không có cực (của một hàm hợp lý trong ) ở bên phải của một số giá trị σ 0 (trong đó σ biểu thị phần thực của biến phức tạp s ). Bây giờ nếu σ 0 < 0 , tức là nếu j ω trục nằm bên trong ROC, sau đó bạn chỉ cần có được sự biến đổi Fourier bằng cách thiết lập s = j ω . Nếu σ 0 > $s$$\sigma_0$$\sigma$$s$$\sigma_0<0$$j\omega$$s=j\omega$$\sigma_0>0$sau đó biến đổi Fourier không tồn tại (vì hệ thống tương ứng không ổn định). Trường hợp thứ ba ( ) là thú vị bởi vì đây biến đổi Fourier không tồn tại nhưng nó không thể được lấy từ các biến đổi Laplace bằng cách thiết lập s = j ω . Ví dụ của bạn là loại này. Các biến đổi Laplace của hàm bước có một cực tại s = 0 , mà sự dối trá trên j ω trục. Trong mọi trường hợp như biến đổi Fourier có thêm δ xung tại các địa điểm cực trên j ω trục.$\sigma_0=0$$s=j\omega$$s=0$$j\omega$$\delta$$j\omega$

$-\infty<t<\infty$

Ok, vì vậy bạn đập một hộp đen làm bằng các thành phần RLC và bạn đo lường phản ứng - đáp ứng xung. Bây giờ bạn muốn biết đáp ứng tần số, nghĩa là đáp ứng với bất kỳ hình sin nào.

Trước hết, bạn không thể thực sự kích thích hệ thống của mình bằng một hình sin thuần túy. Đã quá muộn, bạn nên bắt đầu từ vụ nổ lớn. Điều tốt nhất bạn có thể làm là sử dụng một hình sin nguyên nhân, có thêm các thành phần tần số.

Nhưng hãy nói rằng những gì bạn muốn biết là phản ứng của hệ thống đối với đầu vào tùy ý trong miền thời gian. Bạn không thực sự cần Fourier hoặc Laplace để biết điều này. Một tổ hợp sẽ làm.

Bạn có gì trong tay, thực sự? Bạn đo phản ứng xung. Bằng cách nào đó bạn đã vạch ra nó, hãy nói liên tục, trái ngược với ADC đã lấy mẫu tín hiệu - thường là những gì xảy ra và thay vào đó bạn sẽ hỏi về biến đổi Z so với FFT. Chúng ta cũng giả sử rằng tiếng nổ bạn đưa ra là một đồng bằng tốt: mạnh nhưng ngắn.

Vì hệ thống của bạn là RLC, nó là tuyến tính, do đó, các nguyên tắc chồng chất hoạt động (chúng tôi sẽ không nói về điều này nếu không). Bất kỳ đầu vào nào cũng có thể được xây dựng bằng cách thêm các xung giảm dần theo thời gian (loại - đó là một điều giới hạn). Vì vậy, tổng số phản hồi chỉ là thêm tất cả các phản hồi riêng lẻ này lại với nhau. Sự bổ sung này chính xác là những gì đầu vào tích chập (t) * impulseResponse (t) làm. Bạn có thể coi hệ thống RLC là một "tổ hợp phần cứng". Đây có lẽ là cách chính xác nhất để dự đoán một phản ứng với đầu vào tùy ý.

Bây giờ tôi muốn làm rõ một cái gì đó, đó là cách Laplace liên quan đến Fourier. Miền của chúng tôi là các hàm nhân quả, vì không có ý nghĩa gì khi so sánh Laplace đơn phương với Fourier theo cách khác. Bên cạnh đó, tất cả các tín hiệu thực sự là nhân quả. Về mặt toán học, biến đổi Laplace chỉ là biến đổi Fourier của hàm được nhân trước bởi số mũ phân rã. Nó là đơn giản. Vì vậy, nếu một biến đổi Fourier không tồn tại bởi vì các tích phân là vô hạn, Laplace vẫn có thể tồn tại nếu hàm mũ phân rã đủ mạnh, bởi vì hàm trung gian của hàm 'suy yếu' sẽ hội tụ. Từ quan điểm toán học, điều này có thể cực kỳ hữu ích trong một số trường hợp nhất định.

Nhưng những gì bạn thực sự có thể muốn là tạo ra một hệ thống kiểm soát cho nhà máy của bạn. Trong trường hợp đó, những gì bạn làm là kiểm tra phản hồi và sau đó xấp xỉ nó với mô hình thứ tự 1 hoặc 2 cộng với độ trễ nhóm. Vì vậy, nó sẽ không chính xác, nhưng bằng cách này, bạn bỏ qua tất cả các chi tiết nhỏ của phản hồi thực tế và có được lợi thế to lớn khi có thể cắm mô hình này vào các phương trình và thuật toán điều khiển và kiến ​​thức lý thuyết điều khiển trị giá hàng chục cuốn sách và thiết kế và mô phỏng hệ thống điều khiển của bạn. Trong trường hợp đó, bạn sẽ sử dụng mô hình Laplace, vì ngay lập tức nhận được cực và số không có thể được sử dụng để phân tích độ ổn định.