Tại sao độ tự cảm (L) tỷ lệ thuận với góc vuông (N²)?

Chúng tôi bắt đầu từ phương trình Maxwell

$$\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} = \mu \mathbf{J} + \overbrace{\mu \epsilon \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}}^0.$$

Chúng tôi lấy sự tích hợp bề mặt của cả hai mặt, cho ( ) bề mặt bên trong đường dẫn trung bình ( c ) của lõi.$s$$c$

$$\int_s \left( \mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} \right) \cdot d\mathbf{s} = \mu \int_s \mathbf{J} \cdot d\mathbf{s}$$

Chúng tôi sử dụng Định lý Stroke để viết lại phía bên tay trái; nơi là trong cùng một hướng với từ thông $c$$\Phi$ .

$$\oint_c \mathbf{B} \cdot d \mathbf{\ell} = \mu N I$$

(Tích phân ở phía bên trái cho kết quả , vì có N dây khác nhau trên cuộn dây.)$NI$$N$

Mật độ từ trường bên trong các loại lõi này được coi là đồng nhất. Vì vậy, chúng ta có thể viết

$$B \ell_c \overset\sim= \mu NI \implies B = \dfrac{\mu NI}{\ell_c};$$

trong đó là chiều dài đường trung bình của lõi.$\ell_c$

Chúng ta có thể tìm thấy từ thông từ mật độ từ thông mà chúng ta đã tìm thấy bằng cách sử dụng diện tích mặt cắt ngang của lõi .$A_c$

$$\Phi = BA_c = \dfrac{\mu NIA_c}{\ell_c}$$

Theo định nghĩa, độ tự cảm là lượng từ thông được tạo ra trên mỗi dòng điện áp dụng, nghĩa là

$$L \overset\triangle= \dfrac{\Phi}{I}.$$

Vì vậy, chúng tôi tìm thấy độ tự cảm của hệ thống như

$$\boxed{ L = \dfrac{\Phi}{I} = \dfrac{\dfrac{\mu NIA_c}{\ell_c}}{I} = \dfrac{\mu NA_c}{\ell_c} }.$$

Nhưng, tất cả các nguồn khác ( ví dụ ) cung cấp độ tự cảm của một cuộn cảm như thế này như

$$L = \dfrac{\mu N^2A_c}{\ell_c}.$$

Những sai lầm tôi đã làm trong dẫn xuất của tôi là gì? Hãy giải thích chi tiết.

$N^2$ .

Một cách khác để thể hiện sự phụ thuộc này là nói: vì khớp nối từ tính giữa các lượt.

Sau đó, hãy nghĩ về một cuộn cảm duy nhất (bên trái bên dưới), hãy tưởng tượng rằng một lượt duy nhất tách thành hai dây song song được quấn rất chặt để chúng chiếm gần như cùng một không gian (bên phải bên dưới).

Hai dây song song, với một điện áp ứng dụng nhất định, mỗi dây sẽ lấy một nửa dòng điện của cuộn cảm đơn và cùng nhau, chúng có cùng dòng điện với một lượt: -

Bởi vì điều này, mỗi dây song song riêng lẻ PHẢI có trở kháng gấp đôi của dây đơn và cùng với nhau, khi được mắc song song, biểu hiện trở kháng tương tự như dây đơn. OK cho đến nay?

Bây giờ, sắp xếp lại hai dây đó (trong mắt bạn) để chúng nối tiếp với nhau. Trở kháng thay đổi thành bốn lần trở kháng: -

Điều này có nghĩa là độ tự cảm đã tăng gấp bốn lần để nhân đôi số lượt và việc mở rộng ví dụ này thành n lượt là không đáng kể.

Những sai lầm tôi đã làm trong dẫn xuất của tôi là gì? Hãy giải thích chi tiết.

Độ tự cảm là

$$L = \frac{\lambda}{I} = \frac{N\Phi}{I}$$

$\lambda$