Tầm quan trọng của hình thức tiêu chuẩn của chức năng chuyển lệnh thứ 1 và thứ 2 là gì?

7

Một dạng chuẩn của phương trình vi phân bậc nhất là:

(1)

τ \frac{d y}{d t} + y = k * x (t)

$\tau \frac{dy}{dt} + y = k * x(t)$

Biến đổi laplace của điều này:

(2)

G (s) = \frac{Y (s)}{X (s)} = \frac{k}{τ s + 1}

$G(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{k}{\tau s+1}$

nhưng đôi khi nó được đưa ra như

(3)

H (s) = \frac{1}{τ s + 1} = \frac{a}{s + a}

$H(s) = \frac{1}{\tau s +1} = \frac{a}{s+a}$

Một dạng chuẩn của phương trình vi phân bậc hai là:

(4)

τ^{2} \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + 2 τ ζ \frac{d y}{d t} + y = k * x (t)

$\tau ^{2} \frac{d^{2}y}{dt^{2}}+2 \tau \zeta \frac{dy}{dt} + y = k * x(t)$

Biến đổi laplace của điều này:

(5)

G (s) = \frac{Y (s)}{X (s)} = \frac{k}{τ^{2} s^{2} + 2 τ ζ s + 1}

$G(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{k}{\tau^2s^2 + 2\tau\zeta s+1}$

nhưng đôi khi điều này được đưa ra như

(6)

H (s) = \frac{ω_{n}^{2}}{s^{2} + 2 ζ ω_{n} s + ω_{n}^{2}}

$H(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Đây là câu hỏi của tôi:

Ý nghĩa vật lý của "thứ nhất" và "thứ hai" là gì? (ngoài thực tế là công suất cao nhất của vi sai trong lần đầu tiên là 1 và trong lần thứ hai là 2). Làm thế nào để tôi biết nếu một hệ thống là thứ tự đầu tiên hoặc thứ hai?
Các phương trình (1) và (4) đến từ đâu? Tại sao chúng được quyết định là "hình thức tiêu chuẩn"? Điều gì đặc biệt về hình thức này và các phương trình này xuất phát như thế nào?
Khi được đưa ra một hệ thống bậc nhất, tại sao đôi khi phương trình (2) được đưa ra và đôi khi phương trình (3) là hàm truyền cho hệ thống này? Tương tự như vậy, khi được đưa ra một hệ thống bậc hai tại sao phương trình (6) thường được đưa ra, khi biến đổi laplace thực sự là phương trình (5)?

transfer-function system laplace-transform

— Màu xanh7
nguồn

Một phương trình vi phân không phải là một hàm truyền. Thay vào đó, một phương trình vi phân có hàm truyền. Ngoài ra, khi bạn đặt các dấu bằng, đó không phải là một đẳng thức mà không đánh đồng các hệ số - bạn hiển thị một hàm chuyển cụ thể bên cạnh một biểu mẫu chung, thuận tiện cho việc tìm kiếm mọi thứ trên bàn.

— Scott Seidman

Ồ được rồi, tôi thấy phương trình (1) và (4) rất nhiều, được mô tả là "dạng chuẩn", sau đó chúng là "dạng chuẩn" là gì? Ngoài ra, trong phương trình 3, tau = 1 / a. Tôi không biết tại sao điều này là cần thiết mặc dù.

— Blue7

Trông giống như dạng chuẩn của phương trình vi phân ...

— Matt Young

3

Ý nghĩa vật lý của "thứ nhất" và "thứ hai" là gì? ... Làm thế nào để tôi biết nếu một hệ thống là thứ tự đầu tiên hoặc thứ hai?

Một hệ thống bậc 1 có một phần tử lưu trữ năng lượng và chỉ cần một điều kiện ban đầu để xác định giải pháp duy nhất cho phương trình vi phân chi phối. Mạch RC và RL là các hệ thống bậc 1 vì mỗi hệ thống có một phần tử lưu trữ năng lượng, một tụ điện và cuộn cảm tương ứng.

Một hệ thống bậc 2 có hai yếu tố lưu trữ năng lượng và yêu cầu hai điều kiện ban đầu để chỉ định giải pháp duy nhất. Mạch RLC là hệ thống bậc 2 vì nó chứa tụ điện và cuộn cảm

Các phương trình (1) và (4) đến từ đâu?

Xem xét trường hợp đồng nhất cho phương trình bậc 1:

τ \frac{d y}{d t} + y = 0

$\tau \frac{dy}{dt} + y = 0$

Như đã biết, giải pháp có dạng

y_{c} (t) = y_{c} (0) \cdot e^{- \frac{t}{τ}}

$y_c(t) = y_c(0) \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$

mang lại ý nghĩa vật lý cho tham số - đó là hằng số thời gian liên quan đến hệ thống. Hằng số thời gian càng lớn, thời gian trôi qua càng lâu để phân rã. $\tau$ $\tau$

Đối với hệ bậc 2, phương trình đồng nhất là

τ^{2} \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + 2 τ ζ \frac{d y}{d t} + y = 0

$\tau^2\frac{d^2y}{dt^2} + 2\tau \zeta \frac{dy}{dt} + y = 0$

Giả sử các giải pháp có dạng , do đó phương trình đặc trưng liên quan là $e^{st}$

τ^{2} s^{2} + 2 τ ζ s + 1 = 0

$\tau^2s^2 + 2\tau\zeta s + 1 = 0$

trong đó có hai giải pháp

s = \frac{- ζ \pm \sqrt{ζ^{2} - 1}}{τ}

$s = \frac{-\zeta \pm\sqrt{\zeta^2 -1}}{\tau}$

mang lại ý nghĩa vật lý cho hằng số giảm xóc liên quan đến hệ thống. $\zeta$

Các giải pháp tạm thời, khi (quá tải), có dạng $\zeta > 1$

y_{c} (t) = A e^{\frac{- ζ + \sqrt{ζ^{2} - 1}}{τ} t} + B e^{\frac{- ζ - \sqrt{ζ^{2} - 1}}{τ} t}

$y_c(t) = Ae^{\frac{-\zeta +\sqrt{\zeta^2 -1}}{\tau}t} + Be^{\frac{-\zeta -\sqrt{\zeta^2 -1}}{\tau}t}$

khi (được làm ẩm nghiêm trọng), các giải pháp có dạng $\zeta = 1$

y_{c} (t) = (A + B t) e^{- \frac{ζ}{τ} t}

$y_c(t) = \left(A + Bt\right)e^{-\frac{\zeta}{\tau}t}$

và khi (bị thiếu), các giải pháp có dạng $\zeta < 1$

y_{c} (t) = e^{- \frac{ζ}{τ} t} (A \cos (t \sqrt{1 - ζ^{2}}) + B \sin (t \sqrt{1 - ζ^{2}}))

$y_c(t) = e^{-\frac{\zeta}{\tau}t}\left(A\cos \left(t\sqrt{1 - \zeta^2}\right) + B\sin \left(t\sqrt{1 - \zeta^2}\right) \right)$

Khi được đưa ra một hệ thống bậc nhất, tại sao đôi khi phương trình (2) được đưa ra và đôi khi phương trình (3) là hàm truyền cho hệ thống này?

Các ngành học khác nhau có các quy ước và hình thức tiêu chuẩn khác nhau. Phương trình (2) đối với tôi giống như tiêu chuẩn lý thuyết điều khiển trong khi phương trình (3) trông giống như tiêu chuẩn xử lý tín hiệu .

Các hình thức tiêu chuẩn phát triển để phù hợp với nhu cầu của một ngành học. Hơn nữa, nếu một người hoặc nhóm có ảnh hưởng đặc biệt phát triển và sử dụng một quy ước cụ thể, quy ước đó thường trở thành tiêu chuẩn. Có thể giáo dục để xem qua các sách giáo khoa và tạp chí cũ hơn để hiểu được cách thức ký hiệu và các hình thức tiêu chuẩn phát triển.

— Alfred Centauri
nguồn

4

Thứ tự của hàm truyền được xác định theo thứ tự cao nhất của mẫu số. Thứ tự này đưa ra số cực và - do đó - xác định các đặc điểm cuộn của hàm truyền (độ lớn) cũng như mức độ dịch pha cho tần số tăng.
Dạng chuẩn rất quan trọng vì nó cho phép tìm các tham số đặc trưng bằng cách kiểm tra trực quan và / hoặc tính toán đơn giản: Thứ tự của bộ lọc, công thức cho tần số cực, công thức cho cực-Q. Các tham số này là các mục thiết kế để thiết kế bộ lọc và có thể được tìm thấy cho tất cả các phản hồi cổ điển trong các bảng bộ lọc.
Cả hai dạng của phương trình đều có thể được sử dụng. Tuy nhiên, hình thức cuối cùng thuận tiện hơn vì bạn có thể xác định ngay tần số cực wn. Tần số đặc trưng này có liên quan đến tần số cắt wc (thường được đưa ra) bởi một yếu tố cố định phụ thuộc vào đặc tính mong muốn (Ví dụ 1: Thứ tự thứ hai Butterworth, wc = wn; ví dụ 2: Thứ tự thứ hai của Ch Quashev, gợn 0,5dB , wp = 1.2313 * wc).

EDIT : Tôi quên đề cập rằng yếu tố chất lượng cực (cực Q hoặc Qp) có liên quan đến yếu tố giảm xóc (như được đưa ra trong công thức của bạn) bởi mối quan hệ: = 1 / (2 * Qp).

Tóm tắt: Dạng cuối cùng (Công bằng 6) chứa các đại lượng thông thấp quan trọng nhất là tham số (Ao, wp, Qp), cũng có thể được đo (biểu đồ Bode cho cường độ và pha). Trong thực tế, hình thức này được so sánh với hình thức có nguồn gốc trực tiếp từ mạch - và do đó, có thể thấy tất cả các tham số phụ thuộc vào các phần cụ thể trong mạch.

— LvW
nguồn