Tại sao sử dụng số phức để biểu diễn biên độ và pha của AC

36

Tại sao trong các mạch điện xoay chiều, sóng hình sin được biểu diễn dưới dạng số phức ở dạng cực? Tôi không hiểu một cách logic từ góc độ vật lý tại sao lại có một phần tưởng tượng. Có phải hoàn toàn từ quan điểm toán học để làm cho việc phân tích các mạch dễ dàng hơn?

ac circuit-analysis

— Trước
nguồn

Bản sao có thể có: Electronics.stackexchange.com/questions/28285/ từ

— clabacchio

8

Trích dẫn: "Có phải hoàn toàn từ quan điểm toán học để làm cho việc phân tích các mạch dễ dàng hơn?"

Tôi không chắc chắn nếu phần này của câu hỏi đã được trả lời đầy đủ. Do đó: Có - sử dụng toán học phức tạp để mô tả các tín hiệu hình sin không có liên quan vật lý trực tiếp. Nó chỉ là để "làm cho phân tích dễ dàng hơn".

Ví dụ: Giới thiệu công thức nổi tiếng của Euler cho tín hiệu xoang vào chuỗi Fourier dẫn đến tần số âm (đối xứng với tần số dương). Do đó, câu hỏi đặt ra: Liệu tần số âm có tồn tại trong thực tế không? Câu trả lời là không! Nó chỉ là một công cụ toán học hữu ích.

— LvW
nguồn

Đó là chính xác những gì tôi đã tự hỏi.

— Prevost

83

Thật ra động lực khá đơn giản.

Khi bạn có một mạch tuyến tính và bạn kích thích nó chỉ với một tần số, bất cứ nơi nào bạn nhìn bạn sẽ luôn tìm thấy tần số rất giống nhau, chỉ có biên độ và pha của sóng bạn đo thay đổi.

Những gì bạn làm sau đó là nói tốt hãy quên tần số, nếu tôi theo dõi biên độ và pha của điện áp và / hoặc dòng điện xung quanh mạch thì nó sẽ là quá đủ. Nhưng làm thế nào bạn có thể làm điều đó? Không có công cụ toán học nào cho phép bạn theo dõi biên độ và pha? Vâng, bạn đã có nó: vectơ. Một vectơ có biên độ, đó là chiều dài của nó và một pha, đó là góc mà nó tạo thành với trục x, hướng ccw là dương.

Bây giờ bạn có thể phản đối các vectơ ok rất tuyệt, nhưng không có gì hay hơn? Và tại sao chúng ta cần sử dụng đơn vị tưởng tượng?

Câu trả lời cho câu hỏi thứ hai rất dễ: thực hiện các phép tính với vectơ là một nỗi đau, một ký hiệu đau:

(\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 \\ 7 \end{matrix}) = = (\begin{matrix} 3 \\ 10 \end{matrix})

$\pmatrix{2\\3}+\pmatrix{1\\7}=\pmatrix{3\\10}$

Và đó là sự bổ sung một mình! Chà đó chỉ là một vấn đề ký hiệu, nếu chúng ta chọn một cơ sở khác của mọi thứ có thể tốt hơn ... Và cơ sở này xảy ra, nhưng đòi hỏi đơn vị tưởng tượng . Các mớ hỗn độn trước trở thành: Dễ dàng hơn nhiều, phải không? $\mathbb{R}^2$ $j$

2 + 3 j + 1 + 7 j = = 3 + 10 j

$2+3j+1+7j=3+10j$

Ok nhưng những gì có một vectơ tưởng tượng chung với một điện áp? Hãy thử tưởng tượng mặt phẳng Gauss, trục x là trục thực, trục y là trục tưởng tượng.

Một điện áp có thể được biểu diễn bằng một vectơ tập trung vào gốc tọa độ, chiều dài của nó bằng giá trị điện áp, góc bắt đầu của nó bằng pha. Bây giờ là trò ảo thuật: bắt đầu xoay vectơ sao cho tốc độ góc của nó tương ứng với tần số mong muốn: $\omega$

pha tốt

B Bam. Đó là những gì chúng ta gọi là phasor , và anh chàng nhỏ bé đó là vũ khí mạnh nhất mà bạn có để chống lại các mạch khó khăn.

v_{1} (t) = = V_{1} \cos (2 π f_{0} t + θ_{1}) v_{2} (t) = = V_{2} \cos (2 π f_{0} t + θ_{2})

$v_1(t)=V_1\cos(2\pi f_0t+\theta_1)\\ v_2(t)=V_2\cos(2\pi f_0t+\theta_2)$

nhập mô tả hình ảnh ở đây

Và điều tốt nhất là tất cả các phân tích mạch thực tế mà bạn đã nghiên cứu cho đến nay vẫn tiếp tục hoạt động với các pha và trở kháng phức tạp. Đó là: Định luật Ohm có các pha và trở kháng phức tạp , và điều đó thật tuyệt vì chúng ta có rất nhiều công cụ để giải quyết các mạch được xây dựng theo luật của Ohm và Kirchhoff, và chúng ta vẫn có thể sử dụng chúng.

Với các pha lấy đạo hàm / tích hợp cũng cực kỳ dễ dàng: như bạn đã biết, vì chúng ta đang nói về sin và cosin ở cùng một tần số, đó chỉ là vấn đề của sự dịch pha, và điều đó rất rõ ràng nếu bạn sử dụng biểu diễn hàm mũ phức tạp.

TL; DR: Sinusoids được biểu diễn dưới dạng các vectơ quay trên mặt phẳng cực, nó gần giống như dừng thời gian trong khi chúng quay và chụp ảnh, tức là tính toán các mối quan hệ pha và biên độ. Chỉ cần kiểm tra trang phasor trên wikipedia. Và kiểm tra câu trả lời ngắn gọn khác này quá.

— Vladimir Cravero
nguồn

7

Hình ảnh đẹp của tôi viết như tôi +1

— Andy aka

Một điều nữa rất hay về biểu diễn phức tạp: Đạo hàm của số mũ phức tạp chỉ là một số mũ phức tạp khác với sự dịch pha. Do đó, không cần phải theo dõi xem bạn đang sử dụng sin hay cos. (Tất nhiên đó là ẩn ý trong quan điểm của bạn về một mạch được điều khiển bởi một tần số duy nhất, nhưng tôi nghĩ rằng đó là một điểm hay để nói rõ.)

— Bán nguyệt

Bạn chú ý đến điều thực sự tuyệt vời làm cho số phức tốt hơn vectơ: E = IR hoạt động với số phức.

— supercat

Đó là ngay phía trên phần tldr ...

— Vladimir Cravero

Đẹp (+1). Bạn có thể thêm đầu cuối của hai pha vào cuối để hiển thị điều chế biên độ, và sau đó thực hiện chuyển pha 90 độ cho FM không? (Tôi hầu như muốn xem sơ đồ pha FM ở chỉ số điều chế cao. Tôi có một thời gian khó hình dung điều đó.)

— George Herold

1

Điều chính cần lưu ý là bất kỳ tín hiệu định kỳ nào (với một số hạn chế phân tích cơ bản áp dụng trong thực tế hoặc áp dụng ở mức độ tùy ý nếu không chính xác) có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của các tín hiệu sin và cosin với tần số là bội số của thời kỳ của tín hiệu.

Bây giờ một khi bạn rời khỏi triều đại của phản ứng trực tiếp (như điện trở), năng lượng có thể được lưu trữ và lấy lại. Cuộn dây lưu trữ năng lượng từ tính (áp dụng điện áp và dòng điện chỉ bắt đầu dần dần nhưng vẫn tiếp tục khi điện áp bị hỏng), tụ điện lưu trữ năng lượng điện (áp dụng dòng điện và điện áp chỉ bắt đầu dần dần nhưng tiếp tục khi dòng điện bị phá vỡ), khối lượng chuyển đổi lực dần dần thành xung lực , lò xo dần dần chuyển đổi xung lực thành lực lượng và như vậy.

Nhiều dạng sức mạnh về cơ bản là bình phương của một số biện pháp kích thích. Bây giờ hóa ra tổng bình phương của sin và cosin của cùng một đối số là 1. Một hằng số. Vì vậy, bạn rất tốt khi mô tả sự chuyển đổi năng lượng định kỳ bằng cách sử dụng sin và cosin.

Nó chỉ ra rằng đại số sử dụng sin và cosin là khó khăn. Nếu bạn thêm một loại thuật ngữ tưởng tượng biểu thị dạng năng lượng của tín hiệu định kỳ mà bạn không quan tâm và vứt bỏ bất cứ phần ảo nào còn lại sau khi bạn kết thúc, các thao tác đại số trở nên đơn giản hơn với chi phí của các biến thực tế là phức tạp .

— người dùng53147
nguồn

1

$v(t) = Vcos(\omega t + \phi)$ $L$

v (t) = = R e {V e^{j (ω t + φ)}} = = L \frac{d tôi}{d t} R e {V e^{j (ω t + φ)}} d t = = L d tôi \int R e {V e^{j (ω t + φ)}} d t = = L \int d tôi R e {\int V e^{j (ω t + φ)} d t} = = L tôi (t) R e {\frac{1}{j ω} V e^{j (ω t + φ)}} = = L tôi (t) tôi (t) = = R e {\frac{1}{j ω L} V e^{j φ} e^{j ω t}}

$v(t) = Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\} = L\frac{di}{dt}\\ Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\}\ dt = L\ di\\ \int Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\}\ dt = L \int \ di\\ Re\{\int Ve^{j(\omega t + \phi)}\ dt\} = L i(t)\\ Re\{\frac{1}{j\omega}Ve^{j(\omega t + \phi)}\} = Li(t)\\ i(t) = Re\{\frac{1}{j\omega L}Ve^{j\phi}e^{j\omega t}\}$

$j\omega L$ $v(t)$ $v_o = Ve^{j\phi}$ $i_o = \frac{v_o}{R} = \frac{v_o}{j\omega L}$ $i(t)$ $i_o$ $e^{j\omega t}$

— Veritas
nguồn

0

Tôi giả sử rằng chúng tôi đồng ý rằng chúng là hai mẩu thông tin để biểu thị tín hiệu AC ở bất kỳ thời điểm, biên độ và pha tức thời nào, trong khi chúng chỉ là biên độ cho DC.

Nó không chỉ phân tích nơi chúng ta cần thao tác thông tin mà còn thiết kế các mạch. Các thành phần có trở kháng, và hiệu ứng tín hiệu AC. Vì vậy, khi chúng tôi đang thiết kế, chúng tôi cần có khả năng tính toán trở kháng để thiết kế mạch với các thuộc tính AC cụ thể.

Số phức thuận tiện cho việc biểu diễn và tính toán cả tín hiệu AC và trở kháng. Hai kích thước, chiều dài và góc, cho phép chúng ta tính toán biên độ và pha với nhau, và giữ cho chúng nhất quán.

— xe cứu thương
nguồn