Chức năng của Sê-ri Fourier là gì?

Sê-ri Fourier là gì? Nó dùng để làm gì?

Loạt Fourier:

$V_t = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}[a_i sin(i \omega_0 t) + b_i cos(i \omega_0 t) ]$

Thuật ngữ là một hằng số, đó là cấp độ DC. Nó cũng có thể được viết mà không chia cho hai, nhưng đây là quy ước. Các số hạng của tổng vô hạn là tổng của một sin có trọng số và một cosin có trọng số có cùng tần số. Nếu bạn vẽ chúng là các pha trong mặt phẳng Argand phức tạp, bạn sẽ thấy rằng kết quả lại là một hình sin, nhưng với biên độ khác nhau và pha dịch chuyển. Do đó phương trình cũng có thể được viết là $\dfrac{a_0}{2}$

$V_t = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}[a_i sin(i \omega_0 t + \phi_i) ]$

Vì vậy, chúng ta có tổng các sin, tất cả nhiều tần số có tần số cơ bản , mỗi tần số có biên độ và pha riêng. $\omega_0$

Fourier đã chứng minh rằng bạn có thể mô tả mọi chức năng lặp đi lặp lại theo cách này. Đôi khi bộ truyện là vô hạn, đôi khi nó có số lượng hữu hạn các điều khoản. Đôi khi các thuật ngữ bị thiếu, có nghĩa là biên độ của chúng bằng không.

Một trong những loạt Fourier nổi tiếng nhất là sóng vuông:

$V_t = \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\left[\dfrac{sin((2i - 1) \omega_0 t)}{2i - 1} \right]$

hoặc, mở rộng:

$V_t = sin(\omega_0 t) + \dfrac{1}{3} sin(3 \omega_0 t) + \dfrac{1}{5} sin(5 \omega_0 t) + \dfrac{1}{7} sin(7 \omega_0 t) + ...$

Vì vậy, đây là một chuỗi như vậy với các điều khoản còn thiếu: một sóng vuông thậm chí không có sóng hài. Hình ảnh sau đây cho thấy nó trông như thế nào trong miền thời gian:

Bản vẽ trên cùng cho thấy tổng của hai thuật ngữ đầu tiên, sau đó một phần ba và ở dưới cùng một thuật ngữ thứ tư được thêm vào. Mỗi thuật ngữ được thêm vào sẽ đưa dạng sóng gần hơn với sóng vuông và bạn sẽ cần giới hạn của chuỗi thành vô cực để có được sóng vuông hoàn hảo.

Đôi khi thật khó để nhìn thấy sin cơ bản trong đó. Ví dụ, tổng của sin 3Hz và sin 4Hz. Dạng sóng kết quả sẽ lặp lại mỗi giây một lần, đó là 1Hz. 1Hz là cơ bản, ngay cả khi biên độ của nó bằng không. Bộ này có thể được viết là

$V_t = 0 \cdot sin(\omega_0 t) + 0 \cdot sin(2 \omega_0 t) + sin(3 \omega_0 t) + sin(4 \omega_0 t)$

Tất cả các điều khoản sau đây cũng có biên độ bằng không.

Mọi tín hiệu tương tự có thể thực hiện được, bất cứ điều gì bạn có thể nghĩ hoặc vẽ một cách hợp pháp trên điện áp so với biểu đồ thời gian đều có thể được biểu thị bằng thuật ngữ toán học dưới dạng tổng của vô số sóng hình sin có tần số khác nhau - một dạng nào đó ở dạng này:

any_signal(t) = A*sin(f1*t) + B*sin(f2*t) + C*sin(f3*t) ....

Tín hiệu khác nhau được xây dựng bằng cách thay đổi các giá trị của A, B, Cvv và f1, f2và những người khác.

Khi ai đó đề cập đến một chuỗi Fourier, họ đề cập đến việc thể hiện dạng sóng như một chuỗi các hoạt động bổ sung như trên.

Trên thực tế, mọi tín hiệu tương tự đều có MỘT SỐ nội dung ở mọi tần số - ngay cả khi biên độ là .1e-67 thì nó vẫn ở đó. Lý tưởng là không phải như vậy - nếu tôi xây dựng một sóng vuông thuần túy thì tôi biết thực tế nó chỉ bao gồm các tần số là bội số lẻ của chu kỳ của nó. Do đó, sóng vuông 1Hz là tổng của sóng hình sin 1Hz cộng với sóng hình sin 3Hz và cứ thế xuống dòng. Đối với các dạng sóng nổi tiếng khác như sóng tam giác và đường dốc, mọi người đã thực hiện các tính toán về tần số hiện diện và nội dung nào.

Sê-ri Fourier là một phương tiện để biểu thị dạng sóng định kỳ dưới dạng tổng (có thể là vô hạn) của dạng sóng hình sin 'hài hòa'.

Nó cũng được sử dụng để biểu thị tín hiệu trên khoảng thời gian giới hạn (nhỏ gọn) dưới dạng tổng vô hạn của dạng sóng hình sin.

Về cơ bản, bằng cách thiết lập mối quan hệ giữa tín hiệu trong miền thời gian (nghĩa là tín hiệu được biểu thị dưới dạng hàm thời gian) và tín hiệu tương đương trong miền tần số (nghĩa là tín hiệu được biểu thị dưới dạng hàm tần số), Fourier Sê-ri cho phép phân tích hài hòa các tín hiệu và hệ thống, là cơ sở của lý thuyết truyền vô tuyến, lý thuyết mã hóa, lý thuyết điều khiển, lý thuyết lượng tử và nhiều lĩnh vực kỹ thuật rất hữu ích khác.

Mặc dù biểu thức chuỗi tín hiệu Fourier ban đầu có vẻ phức tạp hơn, liên quan đến các biểu thức phức tạp và 'tổng vô hạn', như một công cụ toán học, chúng cho phép các kỹ sư giải quyết các vấn đề không thể giải quyết bằng các biểu thức dạng đóng.

Nói một cách đơn giản, đôi khi rất hữu ích để diễn tả sự biến đổi trong không gian và / hoặc thời gian như một biến thể về tần số và pha. Riêng đối với các biến thể định kỳ. Nhưng ngay cả khi biến thể không định kỳ, với điều kiện biến thể bị giới hạn trong một khoảng thời gian trong không gian và / hoặc thời gian, nó cũng sẽ bị giới hạn trong một khoảng (băng thông) tương ứng theo tần số.

Ứng dụng của Fourier Series là công cụ để hiểu băng thông kênh cho các hệ thống truyền thông, phát triển các thuật toán nén hình ảnh và cải thiện độ tin cậy của hệ thống phân phối điện.

Để thêm phần thực tế cho các ý kiến ​​trên, chuỗi miền thời gian Fourier có thể được phân tách thành các thành phần miền tần số thông qua các thuật toán như FFT (Biến đổi Fourier nhanh) và DFT (Biến đổi Fourier rời rạc). Một kết quả thực tế quan trọng của việc có thể áp dụng các thuật toán là trong R & D và thử nghiệm trong phòng thí nghiệm, chúng tôi thường muốn đo độ tinh khiết phổ của tín hiệu đối với mức nhiễu (ví dụ SNR hoặc Phạm vi động tự do tự do) để xem mức độ tinh khiết hoặc thường xuyên, không bị biến dạng, nội dung tín hiệu của chúng tôi là. Nếu chúng ta có đầu ra miền thời gian (chẳng hạn như trình chuyển đổi DA sẽ xử lý), chúng ta không thể xác định các giá trị này bằng cách chỉ nhìn vào phản hồi của miền thời gian, vì vậy thường ở phía mô phỏng, chúng ta sẽ sử dụng mô-đun DFT để chuyển đổi tín hiệu miền thời gian vào miền phổ (tần số). Trong phòng thí nghiệm, trên một máy đo dao động, chúng ta cần có một số công cụ có thể xem xét các tính chất phổ (thông thường chúng ta sử dụng máy phân tích phổ). Trung tâm của các công cụ này phụ thuộc vào phương pháp phân tích và phân tích phổ Fourier. Vì vậy, bạn có một lý do thực tế về lý do tại sao phân tích Fourier là quan trọng trong EE.