Đáp ứng tần số sắc nét nhất cho bộ lọc thông thấp không có nguyên nhân mà đáp ứng bước không vượt quá?

Butterworth, Bessel, Ch Quachev và các bộ lọc thông thấp chân thành được sử dụng trong nhiều trường hợp có sự đánh đổi khác nhau giữa việc có đáp ứng tần số giảm đều, đáp ứng pha đồng nhất, cắt ngang hoặc phản hồi "tường gạch". Tôi tin rằng tất cả các bộ lọc như vậy có thể, trong một số trường hợp, có thể vượt quá mức phản hồi bước của chúng, có nghĩa là phản ứng xung của chúng ở một số nơi âm.

Điều gì sẽ là đáp ứng tần số tối ưu, hoặc loại phản hồi tần số nào sẽ có sẵn, trong một bộ lọc mà hạn chế duy nhất là đáp ứng xung không thể âm bất cứ nơi nào? Chắc chắn có thể có bộ lọc thông thấp đáp ứng một ràng buộc như vậy, vì bộ lọc RC cơ bản sẽ làm như vậy (mặc dù phản hồi của bộ lọc như vậy là hơi khó chịu). Đáp ứng xung tối ưu sẽ là một đường cong phân phối bình thường, hay cái gì khác?

Tôi sẽ liệt kê một loạt các "bộ lọc không quá tải". Tôi hy vọng bạn sẽ tìm thấy câu trả lời một phần này tốt hơn là không có câu trả lời nào cả. Hy vọng rằng những người đang tìm kiếm "bộ lọc không quá tải" sẽ thấy danh sách các bộ lọc như vậy hữu ích. Có lẽ một trong những bộ lọc này sẽ hoạt động đầy đủ trong ứng dụng của bạn, ngay cả khi chúng tôi chưa tìm thấy bộ lọc tối ưu về mặt toán học.

bộ lọc nhân quả LTI thứ nhất và thứ hai

Phản hồi bước của bộ lọc thứ tự đầu tiên ("Bộ lọc RC") không bao giờ vượt quá.

Phản hồi bước của bộ lọc thứ tự thứ hai ("biquad") có thể được thiết kế sao cho nó không bao giờ bị lu mờ. Có một số cách tương đương để mô tả lớp bộ lọc thứ hai này không vượt quá mức đầu vào của bước:

• nó bị ẩm nghiêm trọng hoặc bị quá tải.
• nó không bị thiếu
• tỷ lệ giảm xóc (zeta) là 1 hoặc nhiều hơn
• hệ số chất lượng (Q) là 1/2 hoặc ít hơn
• tham số tốc độ phân rã (alpha) ít nhất là tần số góc tự nhiên không bị suy giảm (omega_0) trở lên

Cụ thể, một cấu trúc liên kết bộ lọc Sallen Kiếm khóa thống nhất với các tụ điện và điện trở bằng nhau được làm ẩm nghiêm trọng: Q = 1/2, và do đó không vượt quá đầu vào bước.

Bộ lọc Bessel thứ hai hơi thiếu: Q = 1 / sqrt (3), do đó, nó có một chút quá mức.

Bộ lọc Butterworth bậc hai bị thiếu nhiều hơn: Q = 1 / sqrt (2), do đó, nó có độ vọt lố cao hơn.

Trong số tất cả các bộ lọc LTI thứ nhất và thứ hai có thể là nguyên nhân và không quá mức, bộ lọc có đáp ứng tần số "tốt nhất" (dốc nhất) là các bộ lọc thứ hai "cực kỳ ẩm ướt".

bộ lọc nhân quả LTI bậc cao

Bộ lọc nhân quả bậc cao được sử dụng phổ biến nhất có đáp ứng xung không bao giờ âm (và do đó không bao giờ vượt quá đầu vào bước) là "bộ lọc trung bình đang chạy", còn được gọi là "bộ lọc boxcar" hoặc " bộ lọc trung bình di chuyển ".

Một số người thích chạy dữ liệu thông qua một bộ lọc boxcar và đầu ra từ bộ lọc đó vào một bộ lọc boxcar khác. Sau một vài bộ lọc như vậy, kết quả là một xấp xỉ tốt của bộ lọc Gaussian. (Càng nhiều bộ lọc bạn xếp tầng, đầu ra cuối cùng càng gần với Gaussian, bất kể bạn bắt đầu với bộ lọc nào - boxcar, tam giác, RC bậc nhất hoặc bất kỳ bộ lọc nào - vì định lý giới hạn trung tâm).

Thực tế tất cả các chức năng của cửa sổ đều có đáp ứng xung không bao giờ âm và do đó về nguyên tắc có thể được sử dụng làm bộ lọc FIR không bao giờ vượt quá đầu vào bước. Cụ thể, tôi nghe thấy những điều hay về cửa sổ Lanczos , đó là thùy trung tâm (dương) của hàm chân () (và không nằm ngoài thùy đó). Một vài bộ lọc định hình xung có đáp ứng xung không bao giờ âm và do đó có thể được sử dụng làm bộ lọc không bao giờ vượt quá đầu vào bước.

Tôi không biết bộ lọc nào là tốt nhất cho ứng dụng của bạn và tôi nghi ngờ bộ lọc tối ưu về mặt toán học có thể tốt hơn một chút so với bất kỳ bộ lọc nào.

bộ lọc nhân quả phi tuyến tính

Bộ lọc trung vị là một bộ lọc phi tuyến tính phổ biến không bao giờ vượt quá đầu vào chức năng bước.

EDIT: Bộ lọc phi thường LTI

Hàm sech (t) = 2 / (e ^ (- t) + e ^ t) là biến đổi Fourier của riêng nó và tôi cho rằng có thể được sử dụng như một loại bộ lọc LTI thông thấp không gây ra mà không bao giờ vượt quá bước đầu vào.

Bộ lọc LTI không nhân quả có đáp ứng xung (chân (t / k)) ^ 2 có đáp ứng tần số "abs (k) * tam giác (k * w)". Khi được đưa vào một bước đầu vào, nó có rất nhiều gợn sóng miền thời gian, nhưng nó không bao giờ vượt quá điểm giải quyết cuối cùng. Phía trên góc tần số cao của tam giác đó, nó cho phép loại bỏ dải dừng hoàn hảo (suy hao vô hạn). Vì vậy, trong vùng băng tần dừng, nó có đáp ứng tần số tốt hơn bộ lọc Gaussian.

Do đó, tôi nghi ngờ bộ lọc Gaussian cho "đáp ứng tần số tối ưu".

Trong tập hợp tất cả các "bộ lọc không quá tải" có thể, tôi nghi ngờ không có một "đáp ứng tần số tối ưu" duy nhất nào - một số có từ chối băng tần dừng tốt hơn, trong khi các bộ lọc khác có dải chuyển tiếp hẹp hơn, v.v.

Hầu hết các bộ lọc được sử dụng trong thế giới kỹ thuật số chỉ là phiên bản được lấy mẫu của đối tác tương tự. Một lý do lớn cho điều này là có rất nhiều công việc được thực hiện trong bộ lọc tương tự trước khi kỹ thuật số xuất hiện, do đó, sau đó phát minh lại bánh xe, hầu hết chỉ sử dụng các thiết kế trước đó. Tuy nhiên, lợi thế của kỹ thuật số là bộ lọc bậc cao hơn có thể đạt được dễ dàng hơn nhiều trong thế giới tương tự. Chỉ cần tưởng tượng phức tạp một mạch có được mỗi khi bạn thêm một đơn đặt hàng khác vào thiết kế.

Nếu bạn đang chọn loại bộ lọc tường gạch, đường cong Gaussian là một nơi khá tốt để bắt đầu. Nếu bạn biết về Miền thời gian <-> Miền tần số; một Gaussian biến đổi thành một Gaussian trong miền khác. Khi nó được cuộn trong một, nó hẹp hơn trong một. Vì vậy, để có được sự tăng đột biến trong miền tần số, bạn sẽ cần một lượng mẫu vô hạn.

Nếu bạn tình cờ có sẵn Matlab để sử dụng, bạn nên kiểm tra một số công cụ thiết kế bộ lọc tích hợp. Đây là một liên kết nói về Butterworth và Bessel . Các công cụ thiết kế cho phép bạn chỉ định các khía cạnh nhất định của bộ lọc. Các khía cạnh này thay đổi cho từng loại bộ lọc, nhưng một số ví dụ là Passband, stopband, Ripple, v.v. Nếu bạn cung cấp cho nhà thiết kế các ràng buộc bạn muốn, nó sẽ gây ra lỗi cho bạn (có nghĩa là nó không thể tạo bộ lọc đó với loại bộ lọc đó ) hoặc nó sẽ cung cấp cho bạn một bộ lọc với thứ tự tối thiểu cần thiết để đáp ứng thông số kỹ thuật.